初二数学上册秋季班培优讲义 第14讲 乘法公式（一）
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乘法公式（一）
模块一 平方差公式和完全平方公式
模块二 拓展公式
一、常用公式：
1．平方差公式：；
语言描述：两数之和与两数之差的乘积，等于它们的平方差。
2．完全平方公式：
即：；
语言描述：两数之和（之差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的2倍．
二、拓展公式
1．三元平方公式：；
2．立方和公式：；
3．立方差公式：；
4．立方公式：．
（1）如图，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是__________．
（2）计算：① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦ ⑧
（3）计算：① ②
③ ④
【解析】（1）如图，左图中阴影部分的面积为，右图中阴影部分的面积为，而两图中阴影部分的面积应该是相等的，故验证的公式为．
（2）①原式；②原式；③；④；⑤；
⑥；⑦；⑧．
（3）①；
②原式；
③原式；
④原式．
（1）如图所示的几何图形可以表示的公式是_____________．
（2）计算：① ②
③ ④
⑤ ⑥
（3）计算：① ②
【解析】（1）．
整个大正方形的面积为，而四个小图形的面积之和为；
（2）①原式；
②原式；
③；
④；
⑤；
⑥．
（3）①；
②原式．
计算：（1） （2）
（3） （4）
【解析】（1）；
（2）；
（3）
；
（4）．
【提示】整体思想：符号不变的看成一个整体．
（1）化简求值：，其中，．
（2）化简求值：，其中，．
【解析】（1）原式，当，时，原式．
（2）原式，当，时，原式．
【提示】题型：利用公式化简求值．
（1）要使多项式成为一个完全平方式，则数m的值是________．
（2）如果多项式是一个完全平方式，则数m的值是_______．
（3）若是完全平方式，求的值．
【解析】（1）；（2）．
（3），
故或，解得：或．
【提示】常考B卷填空题，主要考查完全平方公式求参数．
计算：（1） （2）
（3） （4）
【解析】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【提示】三元平方公式的展开．
（1）______________________________________．
（2）___________________________________．
（3）__________________________________．
【解析】（1）；
（2）；
（3）．
（1）已知，，则__________．
（2）若，，则__________．
（3）已知，，求的值是________．
【解析】（1）35；（2）；
（3）原式=．
推导、的公式，比较、、、，并探索规律．
【解析】
；
．
观察上述几个公式，可以发现如下规律：
一、项数：公式展开后的项数等于公式左端的指数加1；
二、次数：展开式中字母的次数均等于公式的指数，比如完全平方公式的指数为2，则展开式中字母的次数也都是2，展开式按a的降幂排列的同时，按b的升幂排列．
三、系数：首末两项的系数都是1，且这三个公式的展开式中各项系数满足右图. 右图中的系数表叫做杨辉三角．
【提示】．
计算：（1） （2）
（3） （4）
【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．
计算：（1） （2）
【解析】（1）原式；
（2）原式．
计算：（1） （2）
（3） （4）
【解析】（1）；
（2）原式
（3）原式
（4）原式．
（1）若多项式是完全平方式，则数____________．
（2）已知多项式是一个完全平方式，则数____．
【解析】（1）9；（2）1或．
计算：（1） （2）
【解析】（1）
；
（2）．
计算：（1） （2）
（3）
【解析】（1）；（2）；（3）．
（1）__________． （2）__________．
【解析】（1）；
（2）．
