高中3.1 函数的概念及其表示优秀随堂练习题

这是一份高中3.1 函数的概念及其表示优秀随堂练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，则f(2)＋f(－2)的值是( )


A．－1 B．0 C．1 D．2


[解析] f(2)＋f(－2)＝2＋eq \f(1,2)－2－eq \f(1,2)＝0.


[答案] B


2．下列函数，值域为[0，＋∞)的是( )


A．y＝x＋1(x>－1) B．y＝x2


C．y＝eq \f(1,x)(x>0) D．y＝eq \f(1,x＋1)


[解析] y＝x＋1(x>－1)的值域为(0，＋∞)；y＝x2的值域为[0，＋∞)；y＝eq \f(1,x)(x>0)的值域为(0，＋∞)；y＝eq \f(1,x＋1)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故选B.


[答案] B


3．下列函数与函数y＝x是同一函数的是( )


A．y＝|x| B．y＝eq \r(3,t3)


C．y＝eq \r(x2) D．y＝eq \f(v2,v)


[解析] 选项A和选项C中，函数的值域都是[0，＋∞)；选项D中，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)；选项B中函数的定义域和值域都和函数y＝x相同，对应关系也等价，因此选B.


[答案] B


4．已知函数f(x)的定义域为[－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为( )


A．[－1,2) B．[0,2)


C．[0,3) D．[－2,1)


[解析] ∵f(x)的定义域为[－1,2)，


∴－1≤x－1<2，得0≤x<3，


∴f(x－1)的定义域为[0,3)．


[答案] C


5．函数y＝eq \f(5x＋4,x－1)的值域是( )


A．(－∞，5) B．(5，＋∞)


C．(－∞，5)∪(5，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)


[解析] ∵y＝eq \f(5x＋4,x－1)＝eq \f(5x－1＋9,x－1)＝5＋eq \f(9,x－1)，且eq \f(9,x－1)≠0，∴y≠5，即函数的值域为(－∞，5)∪(5，＋∞)．


[答案] C


二、填空题


6．设函数f(x)＝x2－2x－1，若f(a)＝2，则实数a＝________.


[解析] 由f(a)＝2，得a2－2a－1＝2，解得a＝－1或a＝3.


[答案] －1或3


7．函数y＝eq \f(1,x－2)的定义域是A，函数y＝eq \r(x2＋2x－3)的值域是B，则A∩B＝__________________(用区间表示)．


[解析] 要使函数式y＝eq \f(1,x－2)有意义，只需x≠2，即A＝{x|x≠2}；函数y＝eq \r(x2＋2x－3)＝eq \r(x＋12－4)≥0，即B＝{y|y≥0}，则A∩B＝{x|0≤x<2或x>2}．


[答案] [0,2)∪(2，＋∞)


8．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))＋f(2x－1)的定义域是________．


[解析] 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<\f(x,2)<1，,－1<2x－1<1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2

∴0

[答案] (0,1)


三、解答题


9．已知函数f(x)＝x2＋x－1.


(1)求f(2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))，f(a＋1)；


(2)若f(x)＝5，求x.


[解] (1)f(2)＝22＋2－1＝5，


feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(1,x2)＋eq \f(1,x)－1＝eq \f(1＋x－x2,x2)，


f(a＋1)＝(a＋1)2＋(a＋1)－1＝a2＋3a＋1.


(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3.


10．求下列函数的值域：


(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；


(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；


(3)y＝eq \f(3－5x,x－2)；


(4)y＝x－eq \r(x＋1).


[解] (1)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴(2x＋1)∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．


(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.


∵x∈[1,5)，∴其图象如图所示，





当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11.


∴所求函数的值域为[2,11)．


(3)函数的定义域为{x|x≠1}，y＝eq \f(3－5x,x－2)＝－eq \f(5x－2＋7,x－2)＝－5－eq \f(7,x－2)，所以函数的值域为{y|y≠－5}．


(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝eq \r(x＋1)，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2－eq \f(5,4)，又t≥0，故y≥－eq \f(5,4)，所以函数的值域为{y|y≥－eq \f(5,4)}．


综合运用


11．函数f(x)＝eq \f(1,x2＋1)(x∈R)的值域是( )


A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]


[解析] 由于x∈R，所以x2＋1≥1,0

[答案] B


12．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为( )


A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2


C．f(x)＝eq \f(1,x) D．y＝|x|


[解析] 对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．对于C选项，f(x＋1)＝eq \f(1,x＋1)，f(x)＋1＝eq \f(1,x)＋1，不成立．对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．


[答案] A


13．若函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，则函数f(1－3x)的定义域为________．


[解] 解法一(过渡搭桥)：因为f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x<1，所以－1≤2x－1<1.所以f(x)的定义域为[－1,1)．所以－1≤1－3x<1，解得0

解法二(整体求解)：由于函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x<1，故－1≤2x－1<1.由于函数f(2x－1)与f(1－3x)中，2x－1与1－3x整体范围一致，故－1≤1－3x<1，解得0

[答案] eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))


14．若函数y＝eq \r(ax2＋2ax＋3)的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是________．


[解析] 函数y＝eq \r(ax2＋2ax＋3)的值域为[0，＋∞)，则函数f(x)＝ax2＋2ax＋3的值域要包括0，即最小值要小于等于0.则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，Δ＝4a2－12a≥0))，解得a≥3.所以a的取值范围是[3，＋∞)．


[答案] [3，＋∞)


15．已知函数f(x)＝eq \f(x2,1＋x2).


(1)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))的值．


(2)求证：f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))是定值．


(3)求f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2019)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))的值．


[解] (1)因为f(x)＝eq \f(x2,1＋x2)，


所以f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(22,1＋22)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝1，


f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(32,1＋32)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝1.


(2)证明：f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2)


＝eq \f(x2,1＋x2)＋eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(x2＋1,x2＋1)＝1.


(3)由(2)知f(x)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝1，


所以f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1，f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝1，


f(4)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1，…，f(2019)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＝1.


所以f(2)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＋…＋f(2019)＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2019)))＝2018.