2020-2021学年3.1 函数的概念及其表示优秀第一课时学案

第三章 函数的概念与性质

3.1函数的概念及其表示

第1课时函数的概念

【课程标准】

1. 理解函数的概念
2. 了解函数的三要素
3. 掌握简单函数的定义域
4. 掌握求函数的值
5. 掌握区间的写法

【知识要点归纳】

1. 函数的概念

(1)函数的定义

设A，B是         ，如果对于集合A中的         ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有       和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作          .

(2)函数的定义域与值域

函数y＝f(x)中，x叫做        ，         A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做   ，函数值的集合        叫做函数的值域．显然，值域是集合B的        ．

(3)对应关系f：除解析式、图象表格外，还有其他表示

对应关系的方法，引进符号f统一表示对应关系．

注意：判断对应关系是否为函数的2个条件

①A、B必须是非空数集．

②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．

2.函数的三要素

由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：       、       和       。

3．相同函数

值域是由       和      决定的，如果两个函数的定义域和      相同，我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们     相同的函数．

4. 区间及有关概念

(1)一般区间的表示.

设a，b∈R，且a<b，规定如下：

(2)特殊区间的表示.

【经典例题】

例1(1) 若集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从M到N的函数f：M→N的是(　　)

(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？

①f：把x对应到3x＋1；  ②g：把x对应到|x|＋1；

③h：把x对应到；      ④r：把x对应到.

我们约定：函数的定义域就是指能使对应关系有意义的所有实数的集合

（一）求函数定义域的几种类型

(1)若f(x)是整式，则函数的定义域是R.

(2)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．

(3)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．

(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．

(5)若f(x)是实际情境的解析式，则应符合实际情境，使其有意义．

例2 　求下列函数的定义域．

（二）两类抽象函数的定义域的求法

总结：括号的范围是一致的；定义域总是指的x的范围

判断两个函数为同一函数的方法

判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．

注意：（1）在化简解析式时，必须是等价变形.（2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.

例4　下列各组函数：

①f(x)＝，g(x)＝x－1；

②f(x)＝，g(x)＝；

③f(x)＝，g(x)＝x＋3；

④f(x)＝x＋1，g(x)＝x＋x0；

⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5).

其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号).

[跟踪训练] （1）与函数y＝x－1为同一函数的是(　　)

A．y＝ B．m＝()2

C．y＝x－x0 D．y＝

（2）判断以下各组函数是否表示相等函数：

①f(x)＝()2；g(x)＝.

②f(x)＝x2－2x－1；g(t)＝t2－2t－1.

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．下列各图中，可表示函数图象的是　　

A． B． 

C． D．

2．下列各组函数表示同一函数的是　　

A．与 

B．与 

C．与 

D．与

3．函数的定义域是　　

A．，， B．， C．，， D．，，

4．已知函数的定义域为，函数的定义域为　　

A． B． C． D．，

二．填空题（共2小题）

5．函数的定义域为　　．

6．已知函数的图象如图所示，则的定义域是　　，值域是　　．

三．解答题（共1小题）

7．求下列函数的定义域．

（1）；

（2）．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．下列各图中，可表示函数图象的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】利用函数是特殊的映射即可判断选项是否正确．

【解答】解：由函数是特殊的映射可得错误，正确，

故选：．

【点评】本题考查了映射的定义，考查了学生的转化能力，属于基础题．

2．下列各组函数表示同一函数的是　　

A．与 

B．与 

C．与 

D．与

【分析】根据两函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断两个函数是同一函数．

【解答】解：对于，函数的定义域为，函数的定义域为，，两函数的定义域不同，不是同一函数；

对于，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；

对于，函数的定义域为，，，函数的定义域为，，两函数的定义域不同，不是同一函数；

对于，函数的定义域为，函数的定义域为，，，两函数的定义域不同，不是同一函数．

故选：．

【点评】本题考查了函数的定义与应用问题，判断两函数是否为同一函数的方法是：看定义域和解析式是否都相同即可．

3．函数的定义域是　　

A．，， B．， C．，， D．，，

【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．

【解答】解：由题意得：

，

解得：且

故函数的定义域是，，，

故选：．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次不等式问题，是一道基础题．

4．已知函数的定义域为，函数的定义域为　　

A． B． C． D．，

【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式，即可求函数的定义域．

【解答】解：函数的定义域为，

，由，

解得：，

即函数的定义域是，

故选：．

【点评】本题主要考查复合函数定义域的求法，直接利用函数的定义域，解不等式即可．

二．填空题（共2小题）

5．函数的定义域为　，，　．

【分析】根据分母不为0以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．

【解答】解：由题意得：

，解得：且，

故函数的定义域是，，，

故答案为：，，．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．

6．已知函数的图象如图所示，则的定义域是　，，　，值域是　　．

【分析】利用图象找出，的范围，即可求解．

【解答】解：由图象可得，，，，

故答案为：，，；，．

【点评】本题考查了利用函数图象求解函数定义域值域的问题，属于基础题．

三．解答题（共1小题）

7．求下列函数的定义域．

（1）；

（2）．

【分析】（1）（2）根据分母不为0以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．

【解答】解：（1）由题意得：

，解得：且，

故函数的定义域是：，，；

（2）由题意得：

，解得：且，

故函数的定义域是：，，．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道常规题．