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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质优秀课堂检测

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质优秀课堂检测,共6页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    复习巩固


    一、选择题


    1.下列函数为奇函数的是( )


    A.y=-|x|B.y=2-x


    C.y=eq \f(1,x3)D.y=-x2+8


    [解析] A、D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶,而C项中函数为奇函数.


    [答案] C


    2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )





    [解析] 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.


    [答案] B


    3.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)是( )


    A.奇函数


    B.偶函数


    C.既是奇函数又是偶函数


    D.非奇非偶函数


    [解析] F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x).


    又x∈(-a,a)关于原点对称,


    ∴F(x)是偶函数.


    [答案] B


    4.对于定义在R上的函数f(x),有下面四个结论:


    ①若f(x)是偶函数,则f(-2)=f(2);


    ②若f(-2)=f(2),则函数f(x)是偶函数;


    ③若f(-2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数;


    ④若f(-2)=f(2),则函数f(x)不是奇函数.


    其中正确的个数为( )


    A.1B.2


    C.3D.4


    [解析] ①正确;②错误,仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性,需要满足“任意”;③正确;④错误,反例:f(x)=0满足条件,该函数既是奇函数,又是偶函数.


    [答案] B


    5.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是( )


    A.奇函数B.偶函数


    C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数


    [解析] ∵f(x)=ax2+bx+c是偶函数,


    ∴f(-x)=f(x),得b=0.


    ∴g(x)=ax3+cx.


    ∴g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-g(x),


    ∴g(x)为奇函数.


    [答案] A


    二、填空题


    6.奇函数f(x)的定义域是(t,2t+3),则t=________.


    [解析] 由奇函数f(x)的定义域关于原点对称,知t+2t+3=0,得t=-1.


    [答案] -1


    7.函数f(x)=x3+ax,若f(1)=3,则f(-1)的值为________.


    [解析] ∵x∈R,且f(-x)=-x3-ax=-f(x),


    ∴f(x)是奇函数.


    ∴f(-1)=-f(1)=-3.


    [答案] -3


    8.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)+f(0)=________.


    [解析] 由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0,∴f(-2)+f(0)=-5.


    [答案] -5


    三、解答题


    9.判断下列函数的奇偶性:


    (1)f(x)=eq \f(x2+x,x+1);


    (2)f(x)=eq \f(\r(1-x2),|x+2|-2);


    (3)f(x)=x2+|x+a|+1.


    [解] (1)由x+1≠0,得f(x)的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,所以函数f(x)=eq \f(x2+x,x+1)不具有奇偶性.


    (2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1-x2≥0,,|x+2|≠2,))∴-1≤x≤1且x≠0,


    ∴定义域为{x|-1≤x≤1,且x≠0}.


    ∴f(x)=eq \f(\r(1-x2),x),


    ∴f(-x)=-eq \f(\r(1-x2),x)=-f(x),


    ∴f(x)是奇函数.


    (3)f(x)的定义域为R,


    f(-x)=x2+|x-a|+1.


    又f(x)=x2+|x+a|+1,


    当a=0时,f(-x)=f(x),此时f(x)为偶函数;


    当a≠0时,|x-a|≠|x+a|,此时f(x)不具有奇偶性.


    10.(1)如图①,给出奇函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值.





    (2)如图②,给出偶函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.


    [解] (1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,-f(-x))关于原点的对称点为P′(x,f(x)),图③为图①补充后的图象,易知f(3)=-2.





    (2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,f(-x))关于y轴的对称点为P′(x,f(x)),图④为图②补充后的图象,易知f(1)>f(3).


    综合运用


    11.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )


    A.|f(x)|-g(x)是奇函数


    B.f(x)-|g(x)|是奇函数


    C.|f(x)|+g(x)是偶函数


    D.f(x)+|g(x)|是偶函数


    [解析] ∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,


    ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).


    对于选项A,|f(-x)|-g(-x)=|f(x)|+g(x)≠±(|f(x)|-g(x)),故其不具有奇偶性;


    对于选项B,f(-x)-|g(-x)|=f(x)-|g(x)|,故函数为偶函数;


    对于选项C,|f(-x)|+g(-x)=|f(x)|-g(x)≠±(|f(x)|+g(x)),故其不具有奇偶性;


    对于选项D,f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|,故函数为偶函数.


    综上,选D.


    [答案] D


    12.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( )


    A.4B.3


    C.2D.1


    [解析] 由题意知f(-1)+g(1)=-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=f(1)+g(1)=4.两式相加,解得g(1)=3.


    [答案] B


    13.若函数f(x)=eq \f(x,2x+1x-a)为奇函数,则a等于________.


    [解析] 函数f(x)的定义域为{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠-\f(1,2),且x≠a)).


    又f(x)为奇函数,定义域应关于原点对称,∴a=eq \f(1,2).


    [答案] eq \f(1,2)


    14.已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为________.


    [解析] 因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a×(-3)=-6,解得a=5.


    [答案] 5


    15.已知函数f(x)对一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y).


    (1)求证:f(x)是奇函数;


    (2)若f(-3)=a,试用a表示f(12).


    [解] (1)证明:由已知f(x+y)=f(x)+f(y),


    令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),


    令x=y=0得f(0)=2f(0),所以f(0)=0.


    所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),


    故f(x)是奇函数.


    (2)因为f(x)为奇函数.


    所以f(-3)=-f(3)=a,


    所以f(3)=-a.


    又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3),


    所以f(12)=-4a.





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