高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示优秀课后作业题

第01讲 函数的概念及其表示(重点题型方法与技巧)

目录

类型一：函数关系的判断

类型二：求函数的定义域

角度1：求常规函数的定义域

角度2：求抽象函数、复合函数的定义域

类型三：函数的值域

角度1：一次、二次、反比例函数的值域

角度2：根式型值域

角度3：分式型值域

角度4：根据值域求参数

角度5：根据值域求定义域

类型四：求函数的解析式

角度1：待定系数法：

角度2：换元法：

角度3：配凑法：

角度4：方程组（消去）法：

角度5：赋值法求抽象函数的解析式

类型五：分段函数的求值

角度1：分段函数求值

角度2：分段函数求值域

角度3：根据分段函数值域求参数

类型六：新定义问题

类型一：函数关系的判断

典型例题

例题1．（2022·全国·高一单元测试）下列图形是函数图像的是（   ）

A． B．

C． D．

同类题型演练

1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

类型二：求函数的定义域

角度1：求常规函数的定义域

典型例题

例题1．（2022·全国·高一单元测试）函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

同类题型演练

1．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

角度2：求抽象函数、复合函数的定义域

典型例题

例题1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）的定义域为，则的定义域为（    ）

A． B．  C． D．

例题2．（2022·全国·高一期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

同类题型演练

1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．

类型三：函数的值域

角度1：一次、二次、反比例函数的值域

典型例题

例题1．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为________.

同类题型演练

1．（2022·全国·高一课时练习）作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：

(1)，；

(2)，．

角度2：根式型值域

典型例题

例题1．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为（    ）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·全国·高一课时练习）求函数的值域______．

同类题型演练

1．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的值域：

(1)；

(2)．

角度3：分式型值域

典型例题

例题1．（2022·全国·高一单元测试）函数的值域为（       ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域是__________．

例题3．（2022·全国·高三专题练习）求函数的值域.

例题4．（2022·全国·高一专题练习）求函数的值域.

同类题型演练

1．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的值域：

(1)；

(2)；

2．（2022·全国·高一课时练习）函数；

①的值域是__________；

②的值域是__________．

角度4：根据值域求参数

典型例题

例题1．（2022·全国·高一期中）若函数的值域为，则的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例题3．（2022·山西大附中高二期中）已知函数，，若对，，使成立，则实数的取值范围为___________.

同类题型演练

1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的值域是，则实数的取值范围是（       ）

A．           B． 

C．          D．

2．（多选）（2022·全国·高一单元测试）若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中，与是“同象函数”的有（       ）

A．， B．，

C．， D．，

3．（2022·全国·高三专题练习）若f （x）＝x2－2x，g（x）＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f (x0)，求实数a的取值范围．

角度5：根据值域求定义域

典型例题

例题1．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数．若的定义域为，值域为，则__________．

类型四：求函数的解析式

角度1：待定系数法：

典型例题

例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知是一次函数，，，则（    ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·全国·高一课时练习）若二次函数满足，，求.

同类题型演练

1．（多选）（2022·全国·高一课时练习）一次函数满足：，则的解析式可以是（       ）

A． B．

C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数（）满足，且，

（1）求的解析式；

角度2：换元法：

典型例题

例题1．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知函数满足，则（    ）

A．1 B．9 C． D．

例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的解析式为___________.

同类题型演练

1．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知，则________．

2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.求函数的解析式；

角度3：配凑法：

典型例题

例题1．（2022·河南·临颍县第一高级中学高二阶段练习（文））已知，则（   ）．

A． B． C． D．

同类题型演练

1．（2022·全国·高一）已知函数，则（       ）

A． B．

C． D．

2．（2022·浙江·高三专题练习）已知，则_______．

角度4：方程组（消去）法：

典型例题

例题1．（2022·全国·高一单元测试）已知，，则的解析式为________．

例题2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的定义域为，且，则_______

同类题型演练

1．（2022·全国·高三专题练习）若函数，满足，且，则________．

2．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的解析式是________．

角度5：赋值法求抽象函数的解析式

典型例题

例题1．（2022·全国·高一课时练习）设函数满足，且对任意，都有，则=_________.

例题2．（2022·全国·高一课时练习）设是定义在上的函数，且满足对任意等式恒成立，则的解析式为_____________．

同类题型演练

1．（2022·全国·高一课时练习）若函数满足，写出一个符合要求的解析式_________．

2．（2022·全国·高一期末）已知函数对一切实数都有成立，且.

（1）求的值；

（2）求的解析式；

类型五：分段函数的求值

角度1：分段函数求值

典型例题

例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则___________.

例题2．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知函数，则___________.

同类题型演练

1．（2022·四川省泸县第四中学模拟预测（文））已知函数则________.

2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则=_________

角度2：分段函数求值域

典型例题

例题1．（2022·江苏·高一）函数的值域为（       ）

A． B．

C． D．

例题2．（2022·北京平谷·高一期末）已知函数

(1)求，的值；

(2)作出函数的简图；

(3)由简图指出函数的值域；

同类题型演练

1．（2022·全国·高一专题练习）求函数在－的最值.

2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.

(1)画出函数的图像并写出它的值域；

角度3：根据分段函数值域求参数

典型例题

例题1．（2022·吉林·长春市第二中学高二期末）已知函数无最大值，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

例题2．（2022·福建南平·高二期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是______.

例题3．（多选）（2022·贵州遵义·高一期末）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（       ）

A．2 B．-1 C．0 D．1

同类题型演练

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是___________.

2．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为，则实数的取值范围是_____________．

类型六：新定义问题

典型例题

1．（2022·江苏南通·高一开学考试）德国数学家狄利克雷（1805~1859）在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．以下关于狄利克雷函数的性质：①；②的值域为；③为奇函数；④，其中表述正确的个数是（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2022·全国·高一课时练习）中文“函数（function）”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是（       ）

A．， B．与

C．与 D．，

同类题型演练

3．（多选）（2022·全国·高一课时练习）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则函数的值域中含有下列那些元素（       ）

A． B．0 C．1 D．2

4．（2022·全国·高三专题练习（文））函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利､欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设是两个非空的数集，如果按某种对应法则，对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数”．下列对应法则满足函数定义的有（       ）

A． B．

C． D．