人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示优质学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示优质学案及答案，共11页。学案主要包含了分段函数求值，分段函数的图象及应用，分段函数的实际应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质．








知识点 分段函数


1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．


2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．


3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．





1．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x≥0，,－1，x<0))是分段函数．( √ )


2．分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．( √ )


3．分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.( × )


4．分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集．( √ )





一、分段函数求值


例1 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2

试求f(－5)，f(－eq \r(3))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))))的值．


解 由－5∈(－∞，－2]，－eq \r(3)∈(－2,2)，－eq \f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，


f(－eq \r(3))＝(－eq \r(3))2＋2(－eq \r(3))＝3－2eq \r(3).


因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝－eq \f(5,2)＋1＝－eq \f(3,2)，


－2<－eq \f(3,2)<2，


所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))


＝eq \f(9,4)－3＝－eq \f(3,4).


延伸探究


1．本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．


解 ①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，


所以a＝2>－2不合题意，舍去．


②当－2

即a2＋2a－3＝0.


所以(a－1)(a＋3)＝0，


所以a＝1或a＝－3.


因为1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，


所以a＝1符合题意．


③当a≥2时，2a－1＝3，所以a＝2符合题意．


综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.


2．本例条件不变，若f(x)>3，求x的取值范围．


解 ①当x≤－2时，x＋1>3得x>2，


又x≤－2，所以x∈∅.


②当－23得x>1或x<－3，


又－2

③当x≥2时，2x－1>3，得x>2，


又x≥2，所以x>2，


综上有x的取值范围是12.


反思感悟 (1)求分段函数的函数值的方法


①确定要求值的自变量属于哪一段区间．


②代入该段的解析式求值，当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．


(2)求某条件下自变量的值的方法．


先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程求解，注意需检验所求的值是否在所讨论的区间内．


跟踪训练1 已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1.))


(1)求f(2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))；


(2)若f(x)＝eq \f(1,4)，求x的值；


(3)若f(x)≥eq \f(1,4)，求x的取值范围．


考点 分段函数


题点 分段函数与不等式结合


解 (1)f(2)＝1，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(1,4)，


所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \f(1,16).


(2)f(x)＝eq \f(1,4)等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤1，,x2＝\f(1,4)，))①或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1或x<－1，,1＝\f(1,4).))②


解①得x＝±eq \f(1,2)，②的解集为∅.


∴当f(x)＝eq \f(1,4)时，x＝±eq \f(1,2).


(3)∵f(x)≥eq \f(1,4)，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤1，,x2≥\f(1,4)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1或x<－1，,1≥\f(1,4)，))


解得x≥eq \f(1,2)或x≤－eq \f(1,2)，


∴x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).


二、分段函数的图象及应用


例2 已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．


(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；


(2)求函数φ(x)的定义域，值域．


解 (1)在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①.





由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.


令－x2＋2＝x得x＝－2或x＝1.


结合图②，得出φ(x)的解析式为


φ(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2，x≤－2，,x，－2

(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1，


∴φ(x)的值域为(－∞，1]．


反思感悟 分段函数图象的画法


(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作第一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．


(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．


跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x∈[－1，0]，,x2＋1，x∈0，1]，))则函数f(x)的图象是( )





答案 A


解析 当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错．故选A.


(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是______________．





答案 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x<0，,－x，0≤x≤1))


解析 由图可知，图象由两条线段(其中一条不含右端点)组成，


当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，


将(－1,0)，(0,1)代入解析式，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－a＋b＝0，,b＝1.))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1.))∴f(x)＝x＋1.


当0≤x≤1时，设f(x)＝kx(k≠0)，


将(1，－1)代入，则k＝－1.∴f(x)＝－x.


即f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，－1≤x<0，,－x，0≤x≤1.))


三、分段函数的实际应用


例3 A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象．


解 (1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，


则有s＝50t，到达B地所需时间为eq \f(150,50)＝3(小时)．


(2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150.


(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，


则有s＝150－60(t－5)＝450－60t，


从B地到A地用时eq \f(150,60)＝2.5(小时)．


综上可得：该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系为s＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50t，0≤t≤3，,150，3

函数图象如图所示．





反思感悟 分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．





1．函数f(x)＝|x－1|的图象是( )





答案 B


解析 方法一 函数的解析式可化为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥1，,1－x，x<1.))


画出此分段函数的图象，故选B.


方法二 由f(－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A，C，D，故选B.


2．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x>0，,1，x＝0，,－1，x<0，))则f(f(0))等于( )


A．1 B．0 C．2 D．－1


考点 分段函数


题点 分段函数求值


答案 C


3．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x≤0，,x2，x>0.))若f(α)＝4，则实数α等于( )


A．－4或－2 B．－4或2


C．－2或4 D．－2或2


答案 B


4．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋1，0

答案 (－1,1) (－1,1)


解析 定义域为各段的并集，即(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1)．


值域为各段的并集(0,1)∪{0}∪(－1,0)＝(－1,1)．


5．已知f(n)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n－3，n≥10，,fn＋5，n<10，))则f(8)＝________.


答案 10


解析 因为8<10，所以f(8)＝f(8＋5)＝f(13)，


又13>10，所以f(13)＝13－3＝10，所以f(8)＝10.





1．知识清单：


(1)分段函数的概念及求值．


(2)分段函数的图象．


2．方法归纳：分类讨论、数形结合法．


3．常见误区：


(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．


(2)作分段函数图象时要注意衔接点的虚实．














1．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2，x<2，,－\f(2,x)，x≥2，))则f(2)等于( )


A．－1 B．0 C．1 D．2


答案 A


2．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是( )





答案 D


解析 函数y＝x|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≥0，,－x2，x<0，))故选D.


3．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤－1，,x2，－1

A．1 B．±eq \r(3) C.eq \f(3,2) D.eq \r(3)


答案 D


解析 若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－1，,x＋2＝3，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－1，,x＝1，))无解．


若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1

若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥2，,2x＝3，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥2，,x＝\f(3,2)，))无解．


故x＝eq \r(3).


4.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))等于( )





A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)


C．－eq \f(2,3) D.eq \f(2,3)


答案 C


解析 f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，0

∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝－eq \f(2,3).


5．电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费．通话收费S(元)与通话时间t(分钟)的函数图象可表示为下图中的( )








答案 B


6．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，0≤x≤1，,2，1

考点 分段函数


题点 分段函数的定义域、值域


答案 [0，＋∞)


解析 定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．


7．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为________立方米．


考点 分段函数


题点 分段函数应用问题


答案 13


解析 该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x>10.))


由y＝16m，可知x>10.


令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)．


8．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1，x≥0，,\f(1,x)，x<0，))若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．


答案 (4，＋∞)


解析 当a≥0时，f(a)＝eq \f(1,2)a－1>1，


解得a>4，符合a≥0；


当a<0时，f(a)＝eq \f(1,a)>1，无解．


故a>4.


9．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋5，x≤0，,x＋5，01.))


(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,π)))，f(－1)的值；


(2)画出这个函数的图象；


(3)求f(x)的最大值．


解 (1)∵eq \f(3,2)>1，


∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－2×eq \f(3,2)＋8＝5.


∵0

∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.


(2)这个函数的图象如图．





在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，


在函数y＝x＋5的图象上截取0

在函数y＝－2x＋8的图象上截取x>1的部分．


图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象．


(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.


10．已知函数f(x)＝1＋eq \f(|x|－x,2)(－2

(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；


(2)画出函数f(x)的图象；


(3)写出函数f(x)的值域．


解 (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋eq \f(x－x,2)＝1，


当－2

所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，0≤x≤2，,1－x，－2

(2)函数f(x)的图象如图所示．





(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．





11．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x)，x≥0，,\r(－x)，x<0，))若f(a)＋f(－1)＝2，则a等于( )


A．－3 B．±3 C．－1 D．±1


考点 分段函数


题点 分段函数求值


答案 D


解析 f(－1)＝eq \r(－－1)＝1.


∴f(a)＋f(－1)＝f(a)＋1＝2.


∴f(a)＝1，即


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥0，,\r(a)＝1))① 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,\r(－a)＝1，))②


解①得a＝1，解②得a＝－1.


∴a＝±1.


12．若定义运算a⊙b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b，a≥b，,a，a

答案 (－∞，1]


解析 由题意得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≥1，,x，x<1，))


画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．





13．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－b，x<1，,2x，x≥1，))若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))))＝4，则b＝________.


答案 eq \f(1,2)


解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))＝3×eq \f(5,6)－b＝eq \f(5,2)－b，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－b))＝4，


①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－b<1，,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－b))－b＝4，))无解；


②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－b≥1，,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－b))＝4，))解得b＝eq \f(1,2).


综上，b＝eq \f(1,2).


14.某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(年)的函数如图，下列四种说法中正确的是________．





①前三年中，产量增长的速度越来越快；


②前三年中，产量增长的速度越来越慢；


③第三年后，这种产品停止生产；


④第三年后，年产量保持不变．


答案 ②③


解析 由于纵坐标表示八年来前t年产品生产总量，②③正确．





15．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，－1≤x≤1，,4－x，x<－1或x>1，))若f(1－x)＝2，则x的取值范围是( )


A．∅ B．[0,2]


C．[－2,0] D．{－1}∪[0,2]


考点 分段函数


题点 分段函数求值


答案 D


解析 当－1≤1－x≤1，即0≤x≤2时，f(1－x)＝2，满足条件，


所以0≤x≤2，


当1－x<－1或1－x>1即x<0或x>2时，f(1－x)＝4－(1－x)＝x＋3＝2，解得x＝－1，满足条件，


综上有0≤x≤2或x＝－1.


16．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：





(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？


(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？


(3)第一次休息时，离家多远？


(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？


(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？


(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？


解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30 千米．


(2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时．


(3)第一次休息时，离家17 千米．


(4)11∶00至12∶00他骑了13 千米．


(5)9∶00～10∶00的平均速度是10 千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14 千米/时．


(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．