人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质精品一课一练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质精品一课一练，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )


A．y＝eq \f(1,x2)B．y＝eq \f(1,x)


C．y＝x2D．y＝2x


[解析] 易判断A、C为偶函数，B、D为奇函数，但函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以选A.


[答案] A


2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是( )


A．y＝x(x－2)B．y＝x(|x|＋2)


C．y＝|x|(x－2)D．y＝x(|x|－2)


[解析] 由x≥0时，f(x)＝x2－2x，


f(x)是定义在R上的奇函数得，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)．


∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xx－2，x≥0，,x－x－2，x<0，))即f(x)＝x(|x|－2)．


[答案] D


3．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( )


A．(－∞，0]B．[0，＋∞)


C．(－∞，＋∞)D．[1，＋∞)


[解析] 因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．


[答案] A


4．f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是( )


A．a<1B．a<3


C．a>1D．a>3


[解析] ∵f(x)在R上为奇函数，


∴f(2－a)＋f(4－a)<0转化为f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)．


又f(x)在R上单调递减，


∴2－a>a－4，得a<3.


[答案] B


5．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为( )


A．10B．－10


C．9D．15


[解析] 由于f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，f(x)为奇函数，故f(－3)＝－f(3)＝1，∴f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.


[答案] C


二、填空题


6．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.


[解析] 因为g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3.


[答案] 3


7．设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0)上的解析式为__________________．





[解析] 由题意知f(x)在[－1,0)上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f(x)＝kx＋b(－1≤x<0)，代入解得k＝1，b＝2，所以f(x)＝x＋2(－1≤x<0)．


[答案] f(x)＝x＋2(－1≤x<0)


8．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．


[解析] 由题意，知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以其图象与x轴的四个交点也两两成对，关于y轴对称，即方程f(x)＝0的实根两两互为相反数，故其所有实根之和是0.


[答案] 0


三、解答题


9．已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式．


[解] 当x<0时，－x>0，


∴f(－x)＝(－x)2＋2x－1.


∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，


∴f(x)＝－x2－2x＋1，


∵f(x)(x∈R)是奇函数，∴f(0)＝0.


∴所求函数的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－1，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x＋1，x<0.))


10．设f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围．


[解] 由题意知f(x)在(0，＋∞)上是增函数．


又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，


a2＋a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，


且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，


所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，解得a

综上，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(2,3))).


综合运用


11．若f(x)满足f(－x)＝f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )


A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))

B．f(－1)

C．f(2)

D．f(2)

[解析] 由已知可得函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，f(－1)＝f(1)．∵1

∴f(1)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))>f(2)，即f(2)

[答案] D


12．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝( )


A．x2B．2x2


C．2x2＋2D．x2＋1


[解析] 因为f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1, ①


所以f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.


又f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)；


g(x)为奇函数，g(－x)＝－g(x)，


所以f(x)－g(x)＝x2－3x＋1. ②


联立①②可得f(x)＝x2＋1.


[答案] D


13．已知函数f(x)是定义在{x|x≠0}上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x2＋x－1，则当x>0时，f(x)的递减区间是________．


[解析] 当x<0时，函数f(x)＝2x2＋x－1在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4)))上是递减的，又函数f(x)为奇函数，由奇函数图象的特征知，当x>0时，f(x)的递减区间是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)).


[答案] eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))


14．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．


[解析] 由题意知f(－2)＝f(2)＝0，当x∈(－2,0)时，f(x)




[答案] (－2,2)


15．定义在R上的函数f(x)，满足对∀x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)．


(1)判断函数f(x)的奇偶性；


(2)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，试求实数x的取值范围．


[解] (1)令x1＝x2＝0，得f(0)＝0，


令x1＝x，x2＝－x，


得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，


即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．


(2)因为f(4)＝1，所以f(8)＝f(4)＋f(4)＝2，


所以原不等式化为f(x－1)

又因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数，f(0)＝0且f(x)是奇函数，


所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，因此x－1<8，


所以x<9，所以实数x的取值范围是(－∞，9)．