高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示优秀学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示优秀学案，共12页。学案主要包含了函数的表示方法，求函数解析式，函数的图象等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．








知识点 函数的表示方法





思考 函数三种表示法的优缺点？


答案








1．任何一个函数都可以用解析法表示．( × )


2．任何一个函数都可以用图象法表示．( × )


3．函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．( √ )


4．函数的图象一定是一条连续不断的曲线．( × )





一、函数的表示方法


例1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．


解 (1)列表法：


(2)图象法：如图所示．





(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．


反思感悟 应用函数三种表示方法应注意以下三点


(1)解析法必须注明函数的定义域；


(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；


(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．


跟踪训练1 由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )





A.1 B．2 C．4 D．5


答案 B


解析 由题中表格可知f(1)＝4，所以f(f(1))＝f(4)＝2.


二、求函数解析式


例2 求下列函数的解析式：


(1)已知函数f(eq \r(x)＋1)＝x＋2eq \r(x)，求f(x)；


(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．


解 (1)方法一 (换元法)


设t＝eq \r(x)＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．


∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，


∴f(x)＝x2－1(x≥1)．


方法二 (配凑法)


∵x＋2eq \r(x)＝(eq \r(x))2＋2eq \r(x)＋1－1＝(eq \r(x)＋1)2－1，


∴f(eq \r(x)＋1)＝(eq \r(x)＋1)2－1(eq \r(x)＋1≥1)，


∴f(x)＝x2－1(x≥1)．


(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．


∵f(0)＝1，∴c＝1.


又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，


∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，


整理，得2ax＋(a＋b)＝2x.


由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝2，,a＋b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1，))∴f(x)＝x2－x＋1.


反思感悟 求函数解析式的常用方法


(1)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，从而求出f(x)．


(2)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．


跟踪训练2 (1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________________．


答案 f(x)＝x2－4(x≥2)


解析 因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，


令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，


所以f(x)＝x2－4(x≥2)．


(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.


答案 2x－eq \f(1,3)或－2x＋1


解析 因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，


则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.


又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,ab＋b＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－\f(1,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝1.))


所以f(x)＝2x－eq \f(1,3)或f(x)＝－2x＋1.


三、函数的图象


例3 作出下列函数的图象．


(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；


(2)y＝eq \f(2,x)，x∈[2，＋∞)；


(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．


解 (1)当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分．





(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝eq \f(2,x)的一部分．





(3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分．





延伸探究 根据作出的函数图象求其值域．


解 观察图象可知：


(1)中函数的值域为[1,5]．


(2)中函数的值域为(0,1]．


(3)中函数的值域为[－1,8]．


反思感悟 作函数y＝f(x)图象的方法


(1)若y＝f(x)是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．


(2)若y＝f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．


跟踪训练3 作出下列函数的图象：


(1)y＝1－x(x∈Z)；


(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．


解 (1)因为x∈Z，


所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．


(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，


当x＝1,3时，y＝0；


当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．











函数图象的应用


典例 (1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．





考点 函数图象


题点 函数图象的应用


答案 [－2,4]∪[5,8] [－4,3]


解析 函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．


(2)若函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．


考点 函数图象


题点 函数图象的应用


解 f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图，





f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，


由图易知－1

[素养提升] (1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．


(2)借助几何直观认识事物的位置关系，形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．





1．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于( )





A．1 B．2 C．3 D．4


考点 函数的表示法


题点 函数的表示法


答案 A


2．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是( )


A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1


C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4


答案 A


解析 方法一 令2x＋1＝t，则x＝eq \f(t－1,2).


所以f(t)＝6×eq \f(t－1,2)＋5＝3t＋2，


所以f(x)＝3x＋2.


方法二 因为f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，


所以f(x)＝3x＋2.


3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )





考点 函数图象


题点 函数图象的判断与理解


答案 C


4．设函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－x,1＋x)))＝x，则f(x)的表达式为( )


A.eq \f(1＋x,1－x)(x≠－1) B.eq \f(1＋x,x－1)(x≠－1)


C.eq \f(1－x,1＋x)(x≠－1) D.eq \f(2x,x＋1)(x≠－1)


答案 C


解析 令t＝eq \f(1－x,1＋x)，则x＝eq \f(1－t,1＋t)，


∴f(t)＝eq \f(1－t,1＋t)，


即f(x)＝eq \f(1－x,1＋x).


5．已知二次函数f(x)的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为__________．


答案 f(x)＝－x2－4x－1


解析 设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，


由y＝f(x)过点(－3,2)，得a＝－1，


∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.





1．知识清单：


(1)函数的表示方法．


(2)求函数解析式．


(3)函数的图象．


2．方法归纳：


(1)待定系数法、换元法．


(2)数形结合法．


3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．








1．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )


A．－2 B．6 C．1 D．0


答案 B


解析 令t＝x－1，则x＝t＋1，


∴f(t)＝(t＋1)2－3＝t2＋2t－2，


∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.


2．已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为( )








A.3 B．2 C．1 D．0


答案 B


解析 ∵g(2)＝1，


∴f(g(2))＝f(1)＝2.


3．从甲市到乙市t min的电话费由函数g(t)＝1.06·(0.75[t]＋1)给出，其中t>0，[t]为不超过t的最大整数，则从甲市到乙市5.5 min的电话费为( )


A．5.04元 B．5.43元 C．5.83元 D．5.38元


答案 A


解析 依题意知g(5.5)＝1.06(0.75×5＋1)


＝5.035≈5.04，故选A.


4．如果f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)，则当x≠0,1时，f(x)等于( )


A.eq \f(1,x) B.eq \f(1,x－1) C.eq \f(1,1－x) D.eq \f(1,x)－1


考点 求函数的解析式


题点 换元法求函数解析式


答案 B


解析 令eq \f(1,x)＝t，则x＝eq \f(1,t)，代入f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)，


则有f(t)＝eq \f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq \f(1,t－1)，


故f(x)＝eq \f(1,x－1).故选B.


5．函数y＝eq \f(x,1＋x)的大致图象是( )








考点 函数图象


题点 求作或判断函数的图象


答案 A


解析 方法一 y＝eq \f(x,1＋x)的定义域为{x|x≠－1}，排除C，D，


当x＝0时，y＝0，排除B.


方法二 y＝eq \f(x,1＋x)＝1－eq \f(1,x＋1)，


由函数的平移性质可知A正确．


6．已知函数f(x)＝x－eq \f(m,x)，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为________．


答案 5


解析 将点(5,4)代入f(x)＝x－eq \f(m,x)，得m＝5.


7．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg.





答案 19


解析 设一次函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)，


代入点(30,330)与点(40,630)得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(330＝30a＋b，,630＝40a＋b，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝30，,b＝－570.))即y＝30x－570，


若要免费，则y≤0，所以x≤19.


8．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.


答案 2


解析 ∵f(x)＝x2＋4x＋3，


∴f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3


＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3


＝x2＋10x＋24，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝1，,2ab＋4a＝10，,b2＋4b＋3＝24，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－7.))


∴5a－b＝2.


9.如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．





解 由题意可知该盒子的底面是边长为(a－2x)的正方形，高为x，


所以此盒子的体积V＝(a－2x)2·x＝x(a－2x)2，


其中自变量x应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2x>0，,x>0，))即0

所以此盒子的体积V以x为自变量的函数式为V＝x(a－2x)2，定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(a,2))).


10．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：


(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；


(2)若x1

(3)求函数f(x)的值域．


考点 函数图象


题点 函数图象的应用


解 函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，


列表：





描点，连线，得函数图象如图：





(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，


f(1)＝4，f(3)＝0，


所以f(3)

(2)根据图象，容易发现当x1

(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．





11．若一次函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，则该函数的图象还经过的点的坐标为( )


A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4))


C．(－1,3) D．(－2,1)


答案 A


解析 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则该函数的图象经过点A(1,6)和B(2,8)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＋b＝6，,2k＋b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝2，,b＝4，))所以此函数的解析式为y＝2x＋4，只有A选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.


12．设函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x)))＝2x＋1，则f(x)的表达式为( )


A.eq \f(1＋x,1－x)(x≠1) B.eq \f(1＋x,x－1)(x≠1)


C.eq \f(1－x,1＋x)(x≠－1) D.eq \f(2x,x＋1)(x≠－1)


答案 B


解析 令1＋eq \f(1,x)＝t，则t≠1，


∴x＝eq \f(1,t－1)，t≠1，


∴f(t)＝eq \f(2,t－1)＋1＝eq \f(1＋t,t－1)，t≠1，


∴f(x)＝eq \f(1＋x,x－1)(x≠1)，故选B.


13．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________．


答案 F(x)＝3x＋eq \f(5,x)(x≠0)


解析 设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝eq \f(m,x)(m≠0，且x≠0)，则F(x)＝kx＋eq \f(m,x).


由Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝16，F(1)＝8，


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)k＋3m＝16，,k＋m＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝3，,m＝5，))


所以F(x)＝3x＋eq \f(5,x)(x≠0)．


14．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________.


考点 函数的表示法


题点 函数的表示法


答案 2或4


解析 当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3.


当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝3.


当x＝3时，f(g(3))＝f(3)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3.


当x＝4时，f(g(4))＝f(2)＝3，g(f(4))＝g(3)＝3.


满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值只有2或4.





15．已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)的解析式是________．


考点 求函数的解析式


题点 方程组法求函数解析式


答案 f(x)＝－x＋eq \f(1,4)


解析 因为f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，①


所以把①中的x换成－x，得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1.②


由①②解得f(x)＝－x＋eq \f(1,4).


16．某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y＝ax＋eq \f(b,x).且当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件．


(1)写出函数y关于x的解析式；


(2)用列表法表示此函数，并画出图象．


解 (1)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝100))与eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝35))代入y＝ax＋eq \f(b,x)中，


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋\f(b,2)＝100，,7a＋\f(b,7)＝35))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋b＝200，,49a＋b＝245))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝196.))


所以所求函数解析式为y＝x＋eq \f(196,x)(x∈N,0

(2)当x∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：


依据上表，画出函数y的图象如图所示，是由20个点构成的点列．


x/台
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1
x
1
2
3
4
f(x)
3
2
4
1
x
1
2
3
f(x)
2
3
0
x
－1
0
1
3
y
0
3
4
0
x
1
2
3
4
f(x)
1
3
1
3
g(x)
3
2
3
2
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
197
100
68.3
53
44.2
38.7
35
32.5
30.8
29.6
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y
28.8
28.3
28.1
28
28.1
28.25
28.5
28.9
29.3
29.8