高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）优秀课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）优秀课后测评，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

复习巩固


一、选择题


1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )


A.eq \f(m,11) B.eq \f(m,12)


C.eq \r(12,m)－1 D.eq \r(11,m)－1


[解析] 设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，


则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝eq \r(11,m)，即x＝eq \r(11,m)－1.


[答案] D


2．有一组实验数据如下表所示：


则能体现这些数据关系的函数模型是( )


A．u＝lg2tB．u＝2t－2


C．u＝eq \f(t2－1,2)D．u＝2t－2


[解析]





可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．


由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.


[答案] C


3．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alg2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )


A．300只B．400只


C．500只D．600只


[解析] 由题意，知100＝alg2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100lg2(7＋1)＝100×3＝300.


[答案] A


4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq \f(5,2)lgeq \f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )


A．1010.1B．10


C．lg10.1D．10－10.1


[解析] 两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq \f(5,2)lgeq \f(E1,E2)，令m2＝－1.45，m1＝－26.7，


则lgeq \f(E1,E2)＝eq \f(2,5)(m2－m1)＝eq \f(2,5)×(－1.45＋26.7)＝10.1，从而eq \f(E1,E2)＝1010.1.故选A.


[答案] A


5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)a.若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过的天数为( )


A．125B．100


C．75D．50


[解析] 由已知，得eq \f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝.


设经过t1天后，一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，


则eq \f(8,27)a＝a·e－kt1，∴eq \f(8,27)＝(e－k)t1＝，


∴eq \f(t1,50)＝eq \f(3,2)，t1＝75.


[答案] C


二、填空题


6．某化工厂2018年的年产量是2010年年产量的n倍，则该化工厂这几年的年平均增长率是________．


[解析] 设2010年年产量是a，则2018年年产量是na，设年平均增长率为x，则na＝a(1＋x)8，解得x＝eq \r(8,n)－1.


[答案] eq \r(8,n)－1


7．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．


[解析] 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(192＝e0＋b＝eb，①,48＝e22k＋b，②))②÷①，得e22k＝(e11k)2＝eq \f(1,4)，故e11k＝eq \f(1,2).故食品在33℃的保鲜时间是y＝e33k＋b＝(e11k)3×eb＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3×192＝24(小时)．


[答案] 24


8．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．


[解析] ∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝a×0.5＋b，,1.5＝a×0.25＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝2.))


∴y＝－2×(0.5)x＋2.


当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．


[答案] 1.75


三、解答题


9．燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(Q,10)，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．


(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？


(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？


[解] (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5lg2eq \f(Q,10).解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位．


(2)将耗氧量Q＝80代入公式得：v＝5lg2eq \f(80,10)＝5lg28＝15(m/s)，即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/s.


10．我国某种南方植物生长时间(单位：年)与高度(单位：米)如下表所示：


(1)试猜测生长时间与高度之间的函数关系，并近似地写出一个函数关系式；


(2)利用关系式估计该植物长成高50米的参天大树需要多少年．


[解]





(1)设生长时间为x年，高度为y米，根据表格中的数据，在平面直角坐标系中进行描点，如图所示．从图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择一次函数建立数学模型．


故所求的函数关系式可设为y＝kx＋b(其中k≠0，x∈N＋)．


把直线通过的两点(5,3.50)和(9,5.47)代入上式，得方程组


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5k＋b＝3.50，,9k＋b＝5.47，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝0.4925，,b＝1.0375.))


因此所求的函数关系式为y＝0.4925x＋1.0375(x∈N＋)．


分别将x＝2，x＝4，x＝8代入上式，得y的相应值分别为2.0225,3.0075,4.9775，与实际值相比，误差不超过0.02米，因此建立的函数模型能反映该植物生长时间与高度之间的函数关系．


(2)令0.4925x＋1.0375＝50，解得x≈100，即该植物大约要经过100年才能长成高50米的参天大树．


综合运用


11.为了预防甲型H1N1等流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－a(a为常数)，如图所示．





(1)从药物释放开始，写出y与t的函数关系式；


(2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，问这次消毒多久后学生才能回到教室．


[解] (1)由图象可知，当0≤t≤0.1时，即药物从开始释放到完毕，y＝10t；


当t＝0.1时，即药物释放完毕，由1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))0.1－a，得a＝0.1，


∴当t>0.1时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1.


∴y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10t，0≤t≤0.1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1，t>0.1.))


(2)由题意可知，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))t－0.1<0.25，得t>0.6，即这次消毒0.6×60＝36(分钟)后，学生才能进教室．


12．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋eq \f(k,x)(k为正常数)．日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的部分数据如下表所示：


已知第10天的日销售收入为121百元．


(1)求k的值；


(2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax＋b，②Q(x)＝a|x－25|＋b，③Q(x)＝a·bx，④Q(x)＝a·lgbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的关系，并求出该函数的解析式；


(3)求该服装的日销售收入f(x)(1≤x≤30，x∈N＋)(百元)的最小值．


[解] (1)依题意知第10天的日销售收入为


P(10)·Q(10)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(k,10)))×110＝121，解得k＝1.


(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.


从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)，经检验，其他数据也符合该解析式，故该函数的解析式为Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)．


(3)由(2)知





当1≤x<25时，y＝x＋eq \f(100,x)在[1,10]上是减函数，在[10,25)上是增函数，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121；


当25≤x≤30时，y＝eq \f(150,x)－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝124.


综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝121.


从而，该服装的日销售收入的最小值为121百元．





t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
生长时间
2
4
5
8
9
高度
2.01
3.01
3.50
4.99
5.47
x(天)
10
20
25
30
Q(x)(件)
110
120
125
120