高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数优质教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数优质教案，共11页。

4．3.1 对数的概念








1．了解对数的概念．


2．会进行对数式与指数式的互化．


3．会求简单的对数值．





1．对数的定义


一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．


2．常用对数与自然对数


通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为lgN.在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并记为lnN.


3．指数与对数的互化


当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝lgaN.


4．对数的性质


(1)lga1＝0；


(2)lgaa＝1；


(3)零和负数没有对数．





1．指数方程3x＝eq \r(3)如何求解？


[答案] 化为3x＝3 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，求得x＝eq \f(1,2)


2．如何求解3x＝2?


[答案] x＝lg32


3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)lgaN是lga与N的乘积．( )


(2)(－2)3＝－8可化为lg(－2)(－8)＝3.( )


(3)对数运算的实质是求幂指数．( )


(4)等式lga1＝0对a∈R均成立．( )


[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×





题型一 指数式与对数式的互化


【典例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：


(1)3－2＝eq \f(1,9)；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))－2＝16；


(3)lg eq \s\d8(\f(1,3)) 27＝－3；(4)lg eq \s\d8(eq \r(x)) 64＝－6.


[思路导引] 借助ab＝N⇔b＝lgaN(a>0，且a≠1)转化．


[解] (1)∵3－2＝eq \f(1,9)，∴lg3eq \f(1,9)＝－2.


(2)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))－2＝16，∴lgeq \f(1,4)16＝－2.


(3)∵lg eq \s\d8(\f(1,3)) 27＝－3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－3＝27.


(4)∵lg eq \s\d8(eq \r(x)) 64＝－6，∴(eq \r(x))－6＝64.





指数式与对数式互化的方法


(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；


(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．


[针对训练]


1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：


(1)2－7＝eq \f(1,128)；(2)3a＝27；


(3)10－1＝0.1；(4)lg eq \s\d8(\f(1,2)) 32＝－5；


(5)lg0.001＝－3.


[解] (1)lg2eq \f(1,128)＝－7.


(2)lg327＝a.


(3)lg0.1＝－1.


(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－5＝32.


(5)10－3＝0.001.


题型二 对数的计算


【典例2】 求下列各式中的x的值：


(1)lg64x＝－eq \f(2,3)；(2)lgx8＝6；


(3)lg100＝x；(4)－lne2＝x.


[思路导引] 把对数式化为指数式求解．








求对数值的3个步骤


(1)设出所求对数值．


(2)把对数式转化为指数式．


(3)解有关方程，求得结果．


[针对训练]


2．求下列各式中的x值：


(1)lgx27＝eq \f(3,2)；(2)lg2x＝－eq \f(2,3)；


(3)x＝lg27eq \f(1,9)；(4)x＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) 16.








(3)由x＝lg27eq \f(1,9)，可得27x＝eq \f(1,9)，


∴33x＝3－2，∴x＝－eq \f(2,3).


(4)由x＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) 16，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＝16.


∴2－x＝24，∴x＝－4.





题型三 对数的性质





[思路导引] 首先利用对数的基本性质化“繁”为“简”，再求值．


[解] (1)由lg(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x2＋2x－1＝2x2－1，,3x2＋2x－1>0，,2x2－1>0且2x2－1≠1，))


解得x＝－2.


(2)由lg2[lg3(lg4x)]＝0可得lg3(lg4x)＝1，故lg4x＝3，所以x＝43＝64.














对数性质的应用要点


(1)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．


(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式algaN＝N及其格式．


[针对训练]


3．求下列各式中x的值：


(1)lg2(lg4x)＝0；


(2)lg3(lgx)＝1.


[解] (1)∵lg2(lg4x)＝0，∴lg4x＝20＝1，


∴x＝41＝4.


(2)∵lg3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.











课堂归纳小结


1．对数概念的理解


(1)规定a>0且a≠1.


(2)由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以ab＝N中，N总是正数，即零和负数没有对数.


(3)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆


的，即ab＝N⇔lgaN＝b(a>0且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：①lgaab＝b；②algaN＝N.


2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.





1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )


A．e0＝1与ln1＝0


B．8 eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ＝eq \f(1,2)与lg8eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3)


C．lg39＝2与9 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＝3


D．lg77＝1与71＝7


[解析] 由lg39＝2，得32＝9，故选C.


[答案] C


2．已知lgx16＝2，则x等于( )


A．4B．±4


C．256D．2


[解析] ∵lgx16＝2，∴x2＝16，又x>0，∴x＝4.


[答案] A


3．设5lg5(2x－1)＝25，则x的值等于( )


A．10B．13


C．100D．±100


[解析] 由5 lg5(2x－1)＝2x－1＝25，得x＝13.


[答案] B


4．式子2lg25＋lg eq \s\d8(\f(3,2)) 1的值为________．


[解析] 原式＝5＋0＝5.


[答案] 5








课后作业(二十九)


复习巩固


一、选择题


1．使对数lga(5－a)有意义的a的取值范围为( )


A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,5)


C．(0,1)∪(1,5)D．(－∞，5)


[解析] 由对数的概念可知a需满足a>0且a≠1且5－a>0，解得0

[答案] C





[解析] 根据对数的定义可知，－3＝lg3eq \f(1,27).


[答案] C


3．已知lnx＝2，则x等于( )


A．±2B．e2


C．2eD．2e


[解析] 由lnx＝2得，e2＝x，所以x＝e2.


[答案] B


4．已知lg7[lg3(lg2x)]＝0，那么x等于( )


A．9B．8


C．7D．6


[解析] 由条件知，lg3(lg2x)＝1，所以lg2x＝3，所以x＝8.


[答案] B





[解析] 由原方程得＝31，所以lgx24＝1，即x2＝4，即x＝±2，经检验知x＝±2都是方程的解．


[答案] D


二、填空题








[答案] 2





[解析] 原式＝2lg23＋0－102·10lg2＝3－200＝－197.


[答案] －197








[答案] eq \f(4,3)


三、解答题


9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．


(1)53＝125；


(2)4－2＝eq \f(1,16)；


(3)lg eq \s\d8(\f(1,2)) 8＝－3；


(4)lg3eq \f(1,27)＝－3.


[解] (1)∵53＝125，∴lg5125＝3.


(2)∵4－2＝eq \f(1,16)，∴lg4eq \f(1,16)＝－2.


(3)∵lg eq \s\d8(\f(1,2)) 8＝－3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－3＝8.


(4)∵lg3eq \f(1,27)＝－3，∴3－3＝eq \f(1,27).


10．若lg eq \s\d8(\f(1,2)) x＝m，lgeq \f(1,4)y＝m＋2，求eq \f(x2,y)的值．


[解] ∵lg eq \s\d8(\f(1,2)) x＝m，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m＝x，x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m.


∵lg eq \s\d8(\f(1,4)) y＝m＋2，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))m＋2＝y，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m＋4.


∴eq \f(x2,y)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m＋4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m－(2m＋4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16.


综合运用


11．若lgaeq \r(5,b)＝c，则下列关系式中正确的是( )


A．b＝a5cB．b5＝ac


C．b＝5acD．b＝c5a


[解析] 由lgaeq \r(5,b)＝c，得ac＝eq \r(5,b)，∴b＝(ac)5＝a5c.


[答案] A


12．已知lgax＝2，lgbx＝1，lgcx＝4(a，b，c，x>0且x≠1)，则lgx(abc)＝( )


A.eq \f(4,7) B.eq \f(2,7) C.eq \f(7,2) D.eq \f(7,4)





[答案] D


13．方程lg3(2x2－1)＝1的解为x＝________.


[解析] 由lg3(2x2－1)＝1，得2x2－1＝3，


∴2x2＝4，x＝±eq \r(2).


[答案] ±eq \r(2)


14.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＋lg0.54的值为________．


[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＋lg0.54＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1·＝2×4＝8.


[答案] 8





[解] (1)∵lg2[lg3(lg4x)]＝0，


∴lg3(lg4x)＝1，


∴lg4x＝3，∴x＝43＝64.


由lg4(lg2y)＝1，知lg2y＝4，


∴y＝24＝16.