高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试复习练习题

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1.在平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))等于( )


A.eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \(BD,\s\up6(→)) C.eq \(BC,\s\up6(→)) D.eq \(CD,\s\up6(→))


答案 D


解析 eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→)).


2.已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于( )


A.－6 B.6 C.－6eq \r(3) D.6eq \r(3)


答案 C


3.已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(4,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋λeq \(CB,\s\up6(→))，则λ等于( )


A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,3) C.－eq \f(1,3) D.－eq \f(2,3)


答案 C


解析 ∵A，B，D三点共线，


∴eq \f(4,3)＋λ＝1，∴λ＝－eq \f(1,3).


4.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OQ,\s\up6(→))等于( )





A.eq \(OH,\s\up6(→)) B.eq \(OG,\s\up6(→)) C.eq \(FO,\s\up6(→)) D.eq \(EO,\s\up6(→))


答案 C


解析 设a＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OQ,\s\up6(→))，利用平行四边形法则作出向量eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OQ,\s\up6(→))，再平移即发现a＝eq \(FO,\s\up6(→)).


5.设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为( )


A.150° B.120° C.60° D.30°


答案 B


解析 由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|2⇒2a·b＝－|a|2⇒2|a|·|b|·cs θ＝－|a|2⇒cs θ＝－eq \f(1,2)⇒θ＝120°.


6.若2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,3)a))－eq \f(1,3)(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝______.


答案 eq \f(2,9)a－eq \f(2,9)b＋eq \f(1,9)c


解析 因为2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,3)a))－eq \f(1,3)(c＋b－3y)＋b＝0，


所以3y－eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c＝0，所以y＝eq \f(2,9)a－eq \f(2,9)b＋eq \f(1,9)c.


7.已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))满足等式eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))，则四边形ABCD是____.


答案 平行四边形


解析 eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))，


∴eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，


∴eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，


则BA＝CD且BA∥CD，


∴四边形ABCD为平行四边形.


8.如图，在△ABC中，若AB＝AC＝3，cs∠BAC＝eq \f(1,2)，eq \(DC,\s\up6(→))＝2eq \(BD,\s\up6(→))，则eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝________.





答案 －eq \f(3,2)


解析 根据条件：


eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))


＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))；


所以eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))


＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))2


＝eq \f(1,3)×3×3×eq \f(1,2)－eq \f(2,3)×9＋eq \f(1,3)×9＝－eq \f(3,2).


9.已知向量a，b满足(2a＋b)·(a－b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，求a与b的夹角.


解 设a与b的夹角为θ，依题意有：(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝7－2cs θ＝6，所以cs θ＝eq \f(1,2)，


因为0≤θ≤π，故θ＝eq \f(π,3).


10.已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|.


解 a·b＝|a||b|cseq \f(π,3)＝5×5×eq \f(1,2)＝eq \f(25,2).


|a＋b|＝eq \r(a＋b2)＝eq \r(|a|2＋2a·b＋|b|2)


＝eq \r(25＋2×\f(25,2)＋25)＝5eq \r(3).


|a－b|＝eq \r(a－b2)＝eq \r(|a|2－2a·b＋|b|2)


＝eq \r(25－2×\f(25,2)＋25)＝5.





11.如图所示，O为线段A0A201外一点，若A0，A1，A2，A3，…，A201中任意相邻两点间的距离相等，eq \(OA0,\s\up6(→))＝a，OA201＝b，用a，b表示eq \(OA0,\s\up6(→))＋eq \(OA1,\s\up6(→))＋eq \(OA2,\s\up6(→))＋…＋eq \(OA201,\s\up6(—→))，其结果为( )





A.100(a＋b) B.101(a＋b)


C.201(a＋b) D.202(a＋b)


答案 B


解析 设A0A201的中点为A，则A也是A1A200，…，A100A101的中点，可得eq \(OA0,\s\up6(→))＋eq \(OA201,\s\up6(—→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))＝a＋b，同理可得，eq \(OA1,\s\up6(→))＋eq \(OA200,\s\up6(—→))＝eq \(OA2,\s\up6(→))＋eq \(OA199,\s\up6(—→))＝…＝eq \(OA100,\s\up6(—→))＋eq \(OA101,\s\up6(—→))＝a＋b，故eq \(OA0,\s\up6(→))＋eq \(OA1,\s\up6(→))＋eq \(OA2,\s\up6(→))＋…＋eq \(OA201,\s\up6(—→))＝101×2eq \(OA,\s\up6(→))


＝101(a＋b).


12.已知向量a的终点与向量b的起点重合，向量c的起点与向量b的终点重合，则下列结论正确的为________.(填序号)


①以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)；


②以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－a－b－c；


③以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－b－c.


答案 ①②③


解析 根据题意画出图形如图所示，可知：以a的起点为终点，c的起点为起点的向量为－(a＋b)，①正确；以a的起点为终点，c的终点为起点的向量为－(a＋b＋c)＝－a－b－c，②正确；以b的起点为终点，c的终点为起点的向量为－(b＋c)＝－b－c，③正确.





13.设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.


解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，


∴m·n＝|m||n|cs 60°＝1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).


|a|＝|2m＋n|＝eq \r(2m＋n2)＝eq \r(4×1＋1＋4m·n)


＝eq \r(4×1＋1＋4×\f(1,2))＝eq \r(7)，


|b|＝|2n－3m|＝eq \r(2n－3m2)


＝eq \r(4×1＋9×1－12m·n)


＝eq \r(4×1＋9×1－12×\f(1,2))＝eq \r(7)，


a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2


＝eq \f(1,2)－6×1＋2×1＝－eq \f(7,2).


设a与b的夹角为θ，


则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－eq \f(1,2).


又∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(2π,3)，故a与b的夹角为eq \f(2π,3).


14.如图所示，半圆的直径AB＝6，点C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝1，BE＝4，DE＝3.





(1)求证：向量eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(DE,\s\up6(→))；


(2)求|eq \(AC,\s\up6(→))|.


(1)证明 由题意知，在△BED中，BD＝5，DE＝3，BE＝4，∴∠DEB＝90°.又点C为半圆上一点，AB为直径，


∴∠ACB＝90°，∴AC∥DE，∴eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(DE,\s\up6(→)).


(2)解 由(1)知AC∥DE，∴△ABC∽△DBE，∴eq \f(AC,DE)＝eq \f(AB,BD)，即eq \f(AC,3)＝eq \f(6,5)，∴AC＝eq \f(18,5)，即|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \f(18,5).





15.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.则向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模为________.


答案 eq \f(10\r(13),13)


解析 (2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b＝4×16－3×9－4a·b＝61，解得a·b＝－6，∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，


∴|a＋b|＝eq \r(13)，


设a与a＋b的夹角为θ，


a·(a＋b)＝a2＋a·b＝10，


∴cs θ＝eq \f(a·a＋b,|a||a＋b|)＝eq \f(10,4×\r(13))＝eq \f(5,2\r(13))，


则a在a＋b方向上的投影向量的模为|a|cs θ＝4×eq \f(5,2\r(13))＝eq \f(10\r(13),13).


16.在Rt△ABC中，斜边BC＝a，PQ是以点A为圆心，a为半径的圆上的一条直径，向量eq \(PQ,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))的夹角为θ.当θ取何值时，eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(CQ,\s\up6(→))有最大值，并求此最大值.


解 eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(CQ,\s\up6(→))＝(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→)))·(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AQ,\s\up6(→)))


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BA,\s\up6(→))－\f(1,2)\(PQ,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(CA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(PQ,\s\up6(→))))


＝eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→)))·eq \(PQ,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(PQ,\s\up6(→))


＝0＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(PQ,\s\up6(→))－a2


＝eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up6(→))|·|eq \(PQ,\s\up6(→))|cs θ－a2＝a2(cs θ－1)，


当θ＝0°，即eq \(PQ,\s\up6(→))和eq \(BC,\s\up6(→))同方向时，eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(CQ,\s\up6(→))有最大值0.