2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 再练一课(范围：6.4.3)

再练一课(范围：6.4.3)

1.在△ABC中，若b2＝a2＋c2＋ac，则B等于(　　)

A.60°   B.45°或135°

C.120°   D.30°

答案　C

解析　∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2＋ac，

∴ac＝－2accos B，cos B＝－，

又0°<B<180°，

∴B＝120°.

2.在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asin A＋bsin B<csin C，则△ABC的形状是(　　)

A.锐角三角形   B.直角三角形

C.钝角三角形   D.不确定

答案　C

解析　根据正弦定理可得a2＋b2<c2.

由余弦定理得cos C＝<0，故C是钝角，△ABC是钝角三角形.

3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c等于(　　)

A.1  B.2  C.4  D.6

答案　C

解析　∵a2＝c2＋b2－2cbcos A，

∴13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，

即c2－3c－4＝0，

解得c＝4或c＝－1(舍去).

4.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b2－2a2＝ac＋2c2，则sin B等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　由2b2－2a2＝ac＋2c2，得2(a2＋c2－b2)＋ac＝0.

由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accos B，

∴4accos B＋ac＝0.

∵ac≠0，∴4cos B＋1＝0，cos B＝－，又B∈(0，π)，

∴sin B＝＝.

5.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2－b2＝ab，C＝，则的值为(　　)

A.  B.1  C.2  D.3

答案　C

解析　由余弦定理得c2－b2＝a2－2abcos C＝a2－ab＝ab，所以a＝2b，所以由正弦定理得＝＝2.

6.若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B，则B＝        .

答案　45°

解析　由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2，

由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，故cos B＝.

又因为B为三角形的内角，所以B＝45°.

7.在△ABC中，B＝60°，a＝1，c＝2，则＝        .

答案　2

解析　∵由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝3，

∴b＝，∴由正弦定理得，＝＝＝2.

8.在△ABC中，a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝        .

答案　30°

解析　由sin C＝2sin B，根据正弦定理，得c＝2b，

把它代入a2－b2＝bc，得a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.

由余弦定理，得cos A＝＝＝＝，

又∵0°<A<180°，

∴A＝30°.

9.在△ABC中，若ccos B＝bcos C，cos A＝，求sin B的值.

解　由ccos B＝bcos C，结合正弦定理，

得sin Ccos B＝sin Bcos C，

故sin(B－C)＝0，∵0<B<π，0<C<π，

∴－π<B－C<π，∴B－C＝0，B＝C，故b＝c.

∵cos A＝，∴由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2·＝b2，得3a2＝2b2，

再由余弦定理，得cos B＝，故sin B＝.

10.在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，若＝，试判断三角形的形状.

解　方法一　由正弦定理知，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，R为△ABC外接圆半径.

∵＝，结合正弦定理得，

∴＝，

∴sin Acos B＋sin Bcos B＝sin Acos B＋sin Acos A，

∴sin Bcos B＝sin Acos A，∴sin 2B＝sin 2A，

∴2A＝2B或2A＋2B＝π，

即A＝B或A＋B＝，

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

方法二　由＝，得1＋＝1＋，

＝，

由余弦定理，得＝＝·，

∴＝.

a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，a2c2－a4＝b2c2－b4，

c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2).

∴a2＝b2或c2＝a2＋b2.

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为(　　)

A.  B.或  C.  D.或

答案　B

解析　∵cos B＝，

∴a2＋c2－b2＝2accos B，

代入已知等式得2ac·cos Btan B＝ac，

即sin B＝，则B＝或.

12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　由正弦定理＝和3sin A＝5sin B，得3a＝5b，即b＝a，又b＋c＝2a，∴c＝a，由余弦定理得cos C＝＝－，∴C＝.

13.若△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为(　　)

A.  B.  C.  D.9

答案　B

解析　设另一条边长为x，则由余弦定理得，

x2＝22＋32－2×2×3×＝9，∴x＝3.

设cos θ＝，θ为长度为2,3的两边的夹角，

则sin θ＝＝.∴2R＝＝＝.

14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝4，b＝5，c＝6，则＝        .

答案　1

解析　由余弦定理得cos A＝＝＝，所以＝＝＝＝1.

15.在△ABC中，若a2＝bc，则角A是(　　)

A.锐角  B.钝角  C.直角  D.不确定

答案　A

解析　∵cos A＝＝

＝>0，

∴0°<A<90°，即角A是锐角.

16.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.

(1)求角A的大小；

(2)若sin B＋sin C＝，试判断△ABC的形状.

解　(1)∵2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，由正弦定理得，

2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，

∴cos A＝＝.

∵0°<A<180°，∴A＝60°.

(2)∵A＋B＋C＝180°，

∴B＋C＝180°－60°＝120°，

由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120°－B)＝，

∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝，

∴sin B＋cos B＝，即sin(B＋30°)＝1.

又∵0°<B<120°，

∴30°<B＋30°<150°，

∴B＋30°＝90°，即B＝60°，

∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为正三角形.