人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率本章综合与测试当堂检测题

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1.从甲、乙、丙、丁4名选手中选取2人组队参加奥林匹克竞赛，其中甲被选中的概率为( )


A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,5)


答案 B


解析 这个试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，


其中甲被选中包含3个样本点，


故甲被选中的概率为eq \f(1,2).


2.甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为( )


A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,6)


答案 A


解析 甲、乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则基本事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P＝eq \f(1,3).


3.在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为( )


A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)


答案 B


解析 用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).


4.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )


A.eq \f(2,3) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(9,10)


答案 D


解析 由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P＝eq \f(9,10).


5.从集合A＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为( )


A.eq \f(2,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(4,9) D.eq \f(5,9)


答案 A


解析 直线y＝kx＋b不经过第三象限，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤0，,b≥0，))将取出的两个数记为(k，b)，则一共有(－1，－2)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2,1)，(2,2)九种情况，符合题意的有(－1,1)，(－1,2)两种情况，所以所求概率为eq \f(2,9).


6.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.则所取的2道题不是同一类题的概率为________.


答案 eq \f(8,15)


解析 将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的.用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个，所以P(B)＝eq \f(8,15).


7.从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取两台，则两种品牌都齐全的概率为________.


答案 eq \f(3,5)


解析 3 台甲型电脑为1,2,3,2台乙型电脑为A，B，则所有的样本点为(1,2)，(1,3)，(1，A)，(1，B)，(2,3)，(2，A)，(2，B)，(3，A)，(3，B)，(A，B)，共10个.记事件C为“一台为甲型，另一台为乙型”，则符合条件的样本点有6个，所以P(C)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).


8.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数分别为x，y，则eq \f(x,y)是整数的概率是________.


答案 eq \f(7,18)


解析 先后两次抛掷一枚骰子，得到的点数分别为x，y的情况一共有36种，


其中eq \f(x,y)是整数的情况有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6)，共14种.


故eq \f(x,y)是整数的概率为eq \f(7,18).


9.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.


(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？


(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？


解 把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；


“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；


“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种.


因此基本事件的总数为6＋6＋6＋2＝20.


(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为eq \f(6,20)＝eq \f(3,10)，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为eq \f(6,20)＝eq \f(3,10)，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为eq \f(3,10)＋eq \f(3,10)＝eq \f(3,5).


(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为eq \f(2,20)＝eq \f(1,10)，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－eq \f(1,10)＝eq \f(9,10).


10.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.


(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；


(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n

解 (1)从袋中随机取两个球，该试验的样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6个样本点.记“取出的球的编号之和不大于4”为事件A，A＝{(1,2)，(1,3)}，含2个样本点.


故P(A)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).


(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共含16个样本点，记“满足n




11.从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )


A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,10) D.eq \f(7,10)


答案 B


解析 从5张卡片中任取2张，样本空间Ω＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共含有10个样本点，而恰好按字母顺序相邻为事件A，A＝{AB，BC，CD，DE}，含有4个样本点，故此事件的概率P(A)＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).


12.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配成1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3.5元的概率是( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)


答案 B


解析 由题意知共有(1.72,1.83)，(1.72,2.28)，(1.72,1.55)，(1.72,0.62)，(1.83,1.72)，(1.83,2.28)，(1.83,1.55)，(1.83,0.62)，(2.28,1.72)，(2.28,1.83)，(2.28,1.55)，(2.28,0.62)，(1.55,1.72)，(1.55,1.83)，(1.55,2.28)，(1.55,0.62)，(0.62,1.72)，(0.62,1.83)，(0.62,2.28)，(0.62,1.55)，20个基本事件，


而满足条件的有(1.72,1.83)，(1.72,2.28)，(1.83，1.72)，(1.83,2.28)，(2.28,1.72)，(2.28,1.83)，(2.28,1.55)，(1.55,2.28)，共8个，故所求概率为eq \f(8,20)＝eq \f(2,5).


13.已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是( )


A.eq \f(5,12) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)


答案 A


解析 ∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，


∴基本事件总数n＝3×4＝12.


函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数，


①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；


②当a≠0时，需要满足eq \f(b,a)≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种.


∴函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上为增函数的概率是P＝eq \f(5,12).


14.设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为________.


答案 3或4


解析 点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，


点P(a，b)落在直线x＋y＝n上(2≤n≤5，n∈N)，


则当n＝2时，P点是(1,1)，


当n＝3时，P点可能是(1,2)，(2,1).


当n＝4时，P点可能为(1,3)，(2,2)，


当n＝5时，P点是(2,3)，


即事件C3，C4的概率最大，故n＝3或4.





15.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )


A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,6)


答案 D


解析 设齐王的下等马、中等马、上等马分别记为a1，a2，a3，田忌的下等马、中等马、上等马分别记为b1，b2，b3，


齐王与田忌赛马，其情况有：


(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；


(a1，b1)，(a2，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；


(a2，b1)，(a1，b2)，(a3，b3)，齐王获胜；


(a2，b1)，(a1，b3)，(a3，b2)，齐王获胜；


(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，田忌获胜；


(a3，b1)，(a1，b3)，(a2，b2)，齐王获胜，共6种等可能结果.


其中田忌获胜的只有一种(a3，b1)，(a1，b2)，(a2，b3)，


则田忌获胜的概率为eq \f(1,6)，故选D.


16.有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时.


(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；


(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；


(3)求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率.


解 将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：








如上图所示，本题中的样本点的总数为24.


(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝eq \f(1,24).


(2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己的席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝eq \f(9,24)＝eq \f(3,8).


(3)设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝eq \f(8,24)＝eq \f(1,3).