数学必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试优秀综合训练题

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1．已知f(ex)＝x，则f(3)等于( )


A．lg3e B．ln 3 C．e3 D．3e


答案 B


解析 依题意有ex＝3得x＝ln 3，故选B.


2．已知lg2x＝4，则等于( )


A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2\r(3)) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(1,4)


答案 D


解析 因为lg2x＝4，所以x＝24，


所以＝＝＝2－2＝eq \f(1,4)，故选D.


3．计算(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 20的值是( )


A．0 B．1 C．2 D．3


答案 C


解析 原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20


＝lg 5·1＋lg 20


＝lg 5＋lg 20


＝lg 100＝lg 102＝2lg 10＝2.


4．已知|lg a|＝lg b(a>0，b>0)，那么( )


A．a＝b B．a＝b或ab＝1


C．a＝±b D．ab＝1


答案 B


解析 当lg a>0时，lg a＝lg b，所以a＝b，


当lg a<0时，－lg a＝lg b，


所以lg a＋lg b＝0，


所以lg ab＝0，所以ab＝1，


综上有a＝b或ab＝1.


5．已知2x＝72y＝A，且eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝2，则A的值是( )


A．7 B．7eq \r(2) C．±7eq \r(2) D．98


答案 B


解析 因为2x＝72y＝A，


所以x＝lg2A,2y＝lg7A，


eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,lg2A)＋eq \f(2,lg7A)＝lgA2＋2lgA7


＝lgA(2×72)＝lgA98＝2，


所以A2＝98，


又A>0，所以A＝7eq \r(2).


6．计算：＋lg3eq \f(5,4)＋lg3eq \f(4,5)＝________.


答案 eq \f(27,8)


解析 原式＝＋lg3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)×\f(4,5)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－3＋lg31＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))3＝eq \f(27,8).


7．若lgab·lg3a＝4，则b的值为________．


答案 81


解析 因为lgab·lg3a＝eq \f(lg b,lg a)·eq \f(lg a,lg 3)＝eq \f(lg b,lg 3)＝4，


所以lg b＝4lg 3＝lg 34，


所以b＝34＝81.


8．若3a＝2，则2lg36－lg316＝________.


答案 2－2a


解析 因为3a＝2，所以lg32＝a，


所以2lg36－lg316＝2lg3(3×2)－lg324


＝2(1＋lg32)－4lg32


＝2－2lg32＝2－2a.


9．计算下列各式的值：


(1)eq \f(1,2)lg eq \f(32,49)－eq \f(4,3)lg eq \r(8)＋lg eq \r(245)－；


(2)lg 52＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.


解 (1)原式＝eq \f(1,2)(lg 32－lg 49)－eq \f(4,3)＋lg 7eq \r(5)－2


＝eq \f(1,2)(lg 25－lg 72)－eq \f(4,3)×eq \f(3,2)×lg 2＋lg 7＋lg eq \r(5)－2


＝eq \f(5,2)lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋eq \f(1,2)lg 5－2


＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5－2


＝eq \f(1,2)－2＝－eq \f(3,2).


(2)原式＝2lg 5＋eq \f(2,3)lg 23＋lg 5(lg 2＋1)＋(lg 2)2


＝2lg 5＋2lg 2＋(1－lg 2)(1＋lg 2)＋(lg 2)2


＝2＋1－(lg 2)2＋(lg 2)2＝3.


10．已知地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝eq \f(2,3)(lg E－11.4)．若A地地震级别为9.0级，B地地震级别为8.0级，求A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的多少倍．


解 由R＝eq \f(2,3)(lg E－11.4)，


得eq \f(3,2)R＋11.4＝lg E，


故E＝.


设A地和B地地震释放的能量分别为E1，E2，


则eq \f(E1,E2)＝＝10eq \r(10)，


即A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的10eq \r(10)倍．





11．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )


A．lgab·lgcb＝lgca


B．lgab·lgca＝lgcb


C．lga(bc)＝lgab·lgac


D．lga(b＋c)＝lgab＋lgac


答案 B


解析 对选项A，lgab·lgcb＝lgca可得lgab＝eq \f(lgca,lgcb)，显然与换底公式lgab＝eq \f(lgcb,lgca)不符，所以错误．


对选项B，lgab·lgca＝lgcb可得lgab＝eq \f(lgcb,lgca)，显然与换底公式lgab＝eq \f(lgcb,lgca)一致，所以正确．


对选项C，lga(bc)＝lgab·lgac，显然与公式lga(xy)＝lgax＋lgay不符，所以错误．


对选项D，lga(b＋c)＝lgab＋lgac，


同样与公式lga(xy)＝lgax＋lgay不符，所以错误．


12．若lg37·lg29·lg49a＝lg4eq \f(1,2)，则a＝________.


答案 eq \f(\r(2),2)


解析 由已知得eq \f(lg 7,lg 3)·eq \f(2lg 3,lg 2)·eq \f(lg a,2lg 7)＝eq \f(－lg 2,2lg 2)，


∴lg a＝－eq \f(1,2)lg 2＝lgeq \f(\r(2),2)，∴a＝eq \f(\r(2),2).


13．若2a＝3，b＝lg32，则ab＝________，3b＋3－b＝________.


答案 1 eq \f(5,2)


解析 ∵2a＝3，∴a＝lg23，


∴ab＝lg23·lg32＝lg23·eq \f(1,lg23)＝1，


3b＋3－b＝＋＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).


14．已知lg(x＋2y)＋lg(x－y)＝lg 2＋lg x＋lg y，则eq \f(x,y)＝________.


答案 2


解析 由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y>0，,x－y>0，,x>0，,y>0，,x＋2yx－y＝2xy，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>y,y>0，,x＋2yx－y＝2xy，))


整理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>y，,y>0，,x－2yx＋y＝0，))


∴x－2y＝0，∴eq \f(x,y)＝2.





15．设方程lg2x＋(lg 2＋lg 3)lg x＋lg 2·lg 3＝0的两根为x1，x2，那么x1·x2的值为( )


A．lg 2·lg 3 B．lg 2＋lg 3


C.eq \f(1,6) D．－6


答案 C


解析 令t＝lg x，


则原方程可化为t2＋(lg 2＋lg 3)t＋lg 2·lg 3＝0，


所以lg x1，lg x2为方程的两根，


lg x1＋lg x2＝－(lg 2＋lg 3)，


所以lg x1x2＝－lg 6＝lgeq \f(1,6)，


所以x1x2＝eq \f(1,6)，故选C.


16．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.


(1)求p的值；


(2)证明：eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y).


(1)解 设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0且k≠1)，


则x＝lg3k，y＝lg4k，z＝lg6k.


由2x＝py得2lg3k＝plg4k＝p·eq \f(lg3k,lg34)，


因为lg3k≠0，


所以p＝2lg34＝4lg32.


(2)证明 因为eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,lg6k)－eq \f(1,lg3k)


＝lgk6－lgk3＝lgk2


＝eq \f(1,2)lgk4＝eq \f(1,2lg4k)＝eq \f(1,2y).


所以原式得证．