人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀练习题，共6页。




1．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期是( )


A.eq \f(π,2) B．π C．2π D．4π


答案 B


解析 ∵ω＝2，∴T＝π.


2．函数y＝sin πx的图象的两条相邻对称轴间的距离为( )


A．π B．2π C．1 D．2


答案 C


解析 函数y＝sin πx的图象的两条相邻对称轴间的距离为eq \f(T,2)，函数的周期T＝eq \f(2π,π)＝2，


则eq \f(T,2)＝eq \f(2,2)＝1.


3．在[0,2π]上，满足sin x≥eq \f(\r(3),2)的x的取值范围是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,3)))


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))


答案 C


4．设a＝cs eq \f(π,12)，b＝sin eq \f(41π,6)，c＝cs eq \f(7π,4)，则( )


A．a>c>b B．c>b>a


C．c>a>b D．b>c>a


答案 A


解析 b＝sin eq \f(41π,6)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π＋\f(5π,6)))＝sin eq \f(5π,6)＝sin eq \f(π,6)＝cs eq \f(π,3)，c＝cs eq \f(7π,4)＝cs eq \f(π,4)，因为eq \f(π,3)>eq \f(π,4)>eq \f(π,12)，且y＝cs x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是单调递减函数，所以a>c>b.


5．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，则函数f(x)满足( )


A．最小正周期为T＝2π


B．图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，0))对称


C．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,8)))上为减函数


D．图象关于直线x＝eq \f(π,8)对称


答案 D


解析 对于函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，它的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π，故排除A；


令x＝eq \f(π,8)，可得f(x)＝1，故函数的图象关于直线x＝eq \f(π,8)对称，不满足图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，0))对称，故D对，且B不对；


在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,8)))上，2x＋eq \f(π,8)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(3π,8)))，函数f(x)单调递增，故排除C.


6．f(x)＝2 018sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋2 019单调增区间为________．


答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z


解析 因为2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，


所以kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z，


即f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z.


7．函数y＝sin2x－sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为________．


答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))


解析 令t＝sin x，则t∈[0,1]，


函数y＝sin2x－sin x可化为：


y＝t2－t(t∈[0,1])，


由二次函数的性质可得：


当t＝eq \f(1,2)时，ymin＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,4)，


当t＝1时，ymax＝12－1＝0.


所以函数y＝sin2x－sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)).


8．函数y＝2sin(3x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))图象的一条对称轴为直线x＝eq \f(π,12)，则φ＝________.


答案 eq \f(π,4)


解析 由y＝2sin(3x＋φ)的对称轴为x＝eq \f(π,12)(k∈Z)，


可知3×eq \f(π,12)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，


解得φ＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)，


又|φ |

9．求函数f(x)＝sin2x－4sin x＋5的值域．


解 设t＝sin x，则|t|≤1，


f(x)＝g(t)＝t2－4t＋5(－1≤t≤1)，


g(t)＝t2－4t＋5的对称轴为t＝2.


因为g(t)的图象开口向上，对称轴t＝2在区间[－1,1]右侧．


所以g(t)在[－1,1]上是单调递减的，


所以g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2，


即g(t)∈[2,10]．


所以函数f(x)的值域为[2,10]．


10．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\r(2))).


(1)求函数f(x)图象的对称中心；


(2)求函数f(x)的单调递增区间．


解 (1)由已知得π＝eq \f(2π,ω)，解得ω＝2.


将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\r(2)))代入解析式，得eq \r(2)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,4)＋φ))，


可知cs φ＝eq \f(\r(2),2)，


由0<φ<π可知φ＝eq \f(π,4)，于是f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).


令2x＋eq \f(π,4)＝kπ(k∈Z)，解得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,8)(k∈Z)，


于是函数f(x)图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,8)，0))(k∈Z)．


(2)令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，


解得－eq \f(3π,8)＋kπ≤x≤eq \f(π,8)＋kπ(k∈Z),


于是函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)＋kπ，\f(π,8)＋kπ))(k∈Z)．





11．方程|x|＝cs x在(－∞，＋∞)内的所有根的和为( )


A．2 B．1 C．0 D．－1


答案 C


解析 如图所示，在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)＝|x|与g(x)＝cs x的图象，易知两个函数的图象在(－∞，＋∞)内只有两个交点，即原方程有两个根，且两根互为相反数，故和为0.





12．若函数y＝sin(x＋φ)的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))，则函数y＝cs(x＋φ)的一条对称轴为( )


A．x＝－eq \f(π,3) B．x＝eq \f(π,6) C．x＝eq \f(π,4) D．x＝eq \f(π,3)


答案 B


解析 ∵函数y＝sin(x＋φ)的对称中心和y＝cs(x＋φ)的对称轴在一条直线上，


∴若y＝sin(x＋φ)的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))，


则函数y＝cs(x＋φ)的一条对称轴为x＝eq \f(π,6).


13．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，给出下列四个结论：


①函数f(x)的最小正周期为π；


②函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,8)对称；


③函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)，0))对称；


④函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))上是单调增函数．


其中正确结论的个数是( )


A．1 B．2 C．3 D．4


答案 B


解析 ①函数f(x)的最小正周期为：T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2)＝π，可知①正确；


②当x＝eq \f(π,8)时，2x－eq \f(π,4)＝0；又x＝0不是sin x的对称轴，可知②错误；


③当x＝eq \f(3π,8)时，2x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)；又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))不是sin x的对称中心，可知③错误；


④当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))时，2x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))；


当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，sin x为单调增函数，可知④正确．


综上①④正确．


14．已知f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,5)x))，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝________.


答案 0


解析 根据题意，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,5)x))，其周期为5，


又由f(0)＝sin 0＝0，f(1)＝sin eq \f(2π,5)，f(2)＝sin eq \f(4π,5)，


f(3)＝sin eq \f(6π,5)，f(4)＝sin eq \f(8π,5)，


则f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0；


又由函数f(x)的周期为5，


则f(5)＝f(10)＝…＝f(2 015)＝f(0)，


f(6)＝f(11)＋…＋f(2 016)＝f(1)，


f(7)＝f(12)＋…＋f(2 017)＝f(2)，


f(8)＝f(13)＋…＋f(2 018)＝f(3)，


f(9)＝f(14)＋…＋f(2 019)＝f(4)，


则f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)


＝404×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0.





15．函数y＝|sin x|＋sin x的值域为( )


A．[－1,1] B．[－2,2] C．[－2,0] D．[0,2]


答案 D


解析 当sin x≥0时，2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z，y＝2sin x，0≤y≤2，


当sin x<0时，2kπ＋π

综上可得函数的值域为[0,2]．


16．求函数y＝sin x的图象和y＝eq \f(x,2π)的图象交点的个数．


解 在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示：





由图可知交点个数是3.