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2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
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第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
学习目标 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.
知识点一 距离问题
类型
图形
方法
两点间不可到达的距离
余弦定理
两点间可视不可到达的距离
正弦定理
两个不可到达的点之间的距离
先用正弦定理，
再用余弦定理
知识点二 高度问题
类型
简图
计算方法
底部可达
测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可达
点B与C，D共线
测得CD＝a及C与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
点B与C，D不共线
测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
知识点三 角度问题
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解.
1.仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.( √ )
2.两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.
( √ )
3.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.
( √ )
4.高度问题大多通过正(余)弦定理构造直角三角形来解决.( √ )
一、距离问题
例1 如图所示，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则BC为 m.
答案 60(－)
解析 由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
由正弦定理，BC＝·sin∠CAB＝·sin 30°
＝×＝60(－).
反思感悟 求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形.
跟踪训练1 A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为 km.
答案
解析 由余弦定理，
得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C
＝72＋52－2×7×5×
＝39.
∴AB＝.
二、高度问题
例2 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是( )
A.10 m B.10 m C.10 m D.10 m
答案 D
解析 在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理，得＝，
BC＝＝10(m).
在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BC×tan 60°＝10(m).
反思感悟 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.
跟踪训练2 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为 m.(精确到1 m)
答案 811
解析 如图，过点D作DE∥AC交BC于点E，
因为∠DAC＝20°，
所以∠ADE＝160°，
于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，得
AB＝＝＝1 000(m).
在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈811(m).
所以山的高度为811 m.
三、角度问题
例3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解 如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，
BC＝at海里，
AC＝at海里，
B＝90°＋30°＝120°，
由＝，
得sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.
跟踪训练3 当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
答案 B
解析 设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m.
由正弦定理，得＝，
∴x＝sin(120°－α).
∵30°<120°－α<120°，
∴当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最大值.
即当竹竿与地面所成的角是30°时，影子最长.
1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
答案 A
解析 ∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，
由＝，得AB＝100×＝50(m).
2.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为( )
A.20 m B.30 m
C.20 m D.30 m
答案 B
解析 由题图，可得∠B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝＝＝30(m).
3.如图，在河岸AC测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是( )
A.a，c，α B.b，c，α
C.c，a，β D.b，α，γ
答案 D
4.甲骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是 ( )
A.6 km B.3 km C.3 km D.3 km
答案 C
解析 由题意知，AB＝24×＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.
由正弦定理，得BS＝＝＝3(km).
5.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )
A. B. C.－1 D.－1
答案 C
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AC＝100(m).
在△ADC中，＝，
∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.
1.知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：方位角是易错点.
1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A.α>β B.α＝β
C.α＋β＝90° D.α＋β＝180°
答案 B
2.两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离分别为a n mile,2a n mile，灯塔A在观测站的北偏东35°的方向上，灯塔B在观测站的南偏东25°的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A.3a n mile B.a n mile
C.a n mile D.a n mile
答案 B
解析 由余弦定理，得AB＝＝a(n mile).
3.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m
答案 D
解析 由题意知，∠A＝∠B＝30°，
所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理，得＝，
即AB＝＝＝4(m).
4.如图，已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
答案 B
解析 如题图，因为△ABC为等腰三角形，
所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，
60°－50°＝10°.
所以灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
5.如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为( )
A.(30＋30)m B.(30＋15)m
C.(15＋30)m D.(15＋15)m
答案 A
解析 在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，由正弦定理，得PB＝＝30(＋)m，所以建筑物的高度为PBsin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)m.
6.某船开始看见一灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45 km后，看见该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 km.
答案 15
解析 设灯塔位置为A，船的初始位置为O，船的终止位置为B，
由题意知∠AOB＝30°，∠OAB＝120°，
所以由正弦定理，得AB＝15，
即此时船与灯塔的距离是15 km.
7.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝ cm.
答案
解析 如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，则在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°，
由正弦定理，得x＝＝＝ (cm).
8.一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为 km.
答案 30
解析 如图所示，
在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，则∠ABC＝45°，
AC＝60 km，根据正弦定理，
得BC＝＝＝30(km).
9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以
5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上.
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α.
解 (1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，
AC＝5×2＝10.
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，
解得BC＝14，v甲＝＝7(n mile/h)，
所以渔船甲的速度为7 n mile/h.
(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α.
由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝＝.
10.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.求索道AB的长.
解 在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]
＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝.
由＝，得AB＝·sin C＝×＝1 040(m).
所以索道AB的长为1 040 m.
11.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )
A.10 m B.5 m
C.5(－1) m D.5(＋1) m
答案 D
解析 方法一 设AB＝x，则BC＝x.
∴BD＝10＋x.
∴tan∠ADB＝＝＝.
解得x＝5(＋1).
∴A点离地面的高AB等于5(＋1) m.
方法二 ∵∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝135°，
∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.
由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC
＝·sin 30°＝ .
∴AB＝ACsin 45°＝5(＋1)m.
12.已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B岛与C岛之间的距离是( )
A.10 海里 B. 海里
C.5 海里 D.5 海里
答案 D
解析 如图所示，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10 海里.
由正弦定理得＝，所以BC＝5(海里).
13.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
答案 B
解析 依题意可得AD＝20，AC＝30，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，
所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
14.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为 .
答案
解析 由题图知，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，
所以BC＝20，
由正弦定理得
sin∠ACB＝·sin∠BAC＝，
由∠BAC＝120°知∠ACB为锐角，
故cos∠ACB＝.
故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
15.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.
解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A
＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos 120°＝6.
∴BC＝.又∵＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
又0°<∠ABC<60°，∴∠ABC＝45°，
∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得＝，
∴sin∠BCD＝＝＝.
又∵0°<∠BCD<60°，∴∠BCD＝30°，
∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.
∴t＝(小时)≈15(分钟).
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.
16.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B，C，D三市的距离.
解 由题意得在△ABC中，AB－AC＝1.5×8＝12(km).
在△ACD中，AD－AC＝1.5×20＝30(km).
设AC＝x km，AB＝(12＋x)km，AD＝(30＋x)km.
在△ABC中，cos∠ACB＝
＝＝，
在△ACD中，cos∠ACD＝
＝＝.
∵B，C，D在一条直线上，
∴＝－，
即＝，
解得x＝.
∴AB＝ km，AD＝ km.
即震中A到B，C，D三市的距离分别为 km， km， km.
学习目标 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.
知识点一 距离问题
类型
图形
方法
两点间不可到达的距离
余弦定理
两点间可视不可到达的距离
正弦定理
两个不可到达的点之间的距离
先用正弦定理，
再用余弦定理
知识点二 高度问题
类型
简图
计算方法
底部可达
测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部不可达
点B与C，D共线
测得CD＝a及C与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
点B与C，D不共线
测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
知识点三 角度问题
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解.
1.仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.( √ )
2.两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.
( √ )
3.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.
( √ )
4.高度问题大多通过正(余)弦定理构造直角三角形来解决.( √ )
一、距离问题
例1 如图所示，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则BC为 m.
答案 60(－)
解析 由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
由正弦定理，BC＝·sin∠CAB＝·sin 30°
＝×＝60(－).
反思感悟 求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形.
跟踪训练1 A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为 km.
答案
解析 由余弦定理，
得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C
＝72＋52－2×7×5×
＝39.
∴AB＝.
二、高度问题
例2 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是( )
A.10 m B.10 m C.10 m D.10 m
答案 D
解析 在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理，得＝，
BC＝＝10(m).
在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BC×tan 60°＝10(m).
反思感悟 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.
跟踪训练2 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为 m.(精确到1 m)
答案 811
解析 如图，过点D作DE∥AC交BC于点E，
因为∠DAC＝20°，
所以∠ADE＝160°，
于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，得
AB＝＝＝1 000(m).
在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈811(m).
所以山的高度为811 m.
三、角度问题
例3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解 如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，
BC＝at海里，
AC＝at海里，
B＝90°＋30°＝120°，
由＝，
得sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.
跟踪训练3 当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
答案 B
解析 设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m.
由正弦定理，得＝，
∴x＝sin(120°－α).
∵30°<120°－α<120°，
∴当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最大值.
即当竹竿与地面所成的角是30°时，影子最长.
1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
答案 A
解析 ∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，
由＝，得AB＝100×＝50(m).
2.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为( )
A.20 m B.30 m
C.20 m D.30 m
答案 B
解析 由题图，可得∠B＝45°，∠BAC＝30°，故BC＝＝＝30(m).
3.如图，在河岸AC测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是( )
A.a，c，α B.b，c，α
C.c，a，β D.b，α，γ
答案 D
4.甲骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是 ( )
A.6 km B.3 km C.3 km D.3 km
答案 C
解析 由题意知，AB＝24×＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.
由正弦定理，得BS＝＝＝3(km).
5.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )
A. B. C.－1 D.－1
答案 C
解析 在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴AC＝100(m).
在△ADC中，＝，
∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.
1.知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：方位角是易错点.
1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A.α>β B.α＝β
C.α＋β＝90° D.α＋β＝180°
答案 B
2.两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离分别为a n mile,2a n mile，灯塔A在观测站的北偏东35°的方向上，灯塔B在观测站的南偏东25°的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A.3a n mile B.a n mile
C.a n mile D.a n mile
答案 B
解析 由余弦定理，得AB＝＝a(n mile).
3.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m
答案 D
解析 由题意知，∠A＝∠B＝30°，
所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理，得＝，
即AB＝＝＝4(m).
4.如图，已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
答案 B
解析 如题图，因为△ABC为等腰三角形，
所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，
60°－50°＝10°.
所以灯塔A在灯塔B的北偏西10°.
5.如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为( )
A.(30＋30)m B.(30＋15)m
C.(15＋30)m D.(15＋15)m
答案 A
解析 在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，由正弦定理，得PB＝＝30(＋)m，所以建筑物的高度为PBsin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)m.
6.某船开始看见一灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45 km后，看见该灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 km.
答案 15
解析 设灯塔位置为A，船的初始位置为O，船的终止位置为B，
由题意知∠AOB＝30°，∠OAB＝120°，
所以由正弦定理，得AB＝15，
即此时船与灯塔的距离是15 km.
7.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝ cm.
答案
解析 如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，则在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°，
由正弦定理，得x＝＝＝ (cm).
8.一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为 km.
答案 30
解析 如图所示，
在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，则∠ABC＝45°，
AC＝60 km，根据正弦定理，
得BC＝＝＝30(km).
9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以
5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上.
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α.
解 (1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，
AC＝5×2＝10.
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，
解得BC＝14，v甲＝＝7(n mile/h)，
所以渔船甲的速度为7 n mile/h.
(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α.
由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝＝.
10.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.求索道AB的长.
解 在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]
＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝.
由＝，得AB＝·sin C＝×＝1 040(m).
所以索道AB的长为1 040 m.
11.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )
A.10 m B.5 m
C.5(－1) m D.5(＋1) m
答案 D
解析 方法一 设AB＝x，则BC＝x.
∴BD＝10＋x.
∴tan∠ADB＝＝＝.
解得x＝5(＋1).
∴A点离地面的高AB等于5(＋1) m.
方法二 ∵∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝135°，
∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.
由正弦定理，得AC＝·sin∠ADC
＝·sin 30°＝ .
∴AB＝ACsin 45°＝5(＋1)m.
12.已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B岛与C岛之间的距离是( )
A.10 海里 B. 海里
C.5 海里 D.5 海里
答案 D
解析 如图所示，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10 海里.
由正弦定理得＝，所以BC＝5(海里).
13.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
答案 B
解析 依题意可得AD＝20，AC＝30，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，
所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
14.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为 .
答案
解析 由题图知，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，
所以BC＝20，
由正弦定理得
sin∠ACB＝·sin∠BAC＝，
由∠BAC＝120°知∠ACB为锐角，
故cos∠ACB＝.
故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝.
15.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.
解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A
＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos 120°＝6.
∴BC＝.又∵＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
又0°<∠ABC<60°，∴∠ABC＝45°，
∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得＝，
∴sin∠BCD＝＝＝.
又∵0°<∠BCD<60°，∴∠BCD＝30°，
∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.
∴t＝(小时)≈15(分钟).
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.
16.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B，C，D三市的距离.
解 由题意得在△ABC中，AB－AC＝1.5×8＝12(km).
在△ACD中，AD－AC＝1.5×20＝30(km).
设AC＝x km，AB＝(12＋x)km，AD＝(30＋x)km.
在△ABC中，cos∠ACB＝
＝＝，
在△ACD中，cos∠ACD＝
＝＝.
∵B，C，D在一条直线上，
∴＝－，
即＝，
解得x＝.
∴AB＝ km，AD＝ km.
即震中A到B，C，D三市的距离分别为 km， km， km.
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