高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀第1课时学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优秀第1课时学案及答案，共10页。学案主要包含了三角函数的周期问题，三角函数的奇偶性等内容，欢迎下载使用。

第1课时 周期性与奇偶性


学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.2.会求常见三角函数的的周期.3.通过图象直观理解奇偶性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心．








知识点一 周期性


1．函数的周期性


(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．


(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．


思考 周期函数的周期是否唯一？


答案 不唯一．若f(x＋T)＝f(x)，则f(x＋nT)＝f(x)，(n∈Z，且n≠0)．


2．正弦、余弦函数的周期性


正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cs x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.


知识点二 正弦、余弦函数的奇偶性


正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．


思考 判断函数的奇偶性除了定义外，还有判断函数奇偶性的方法吗？


答案 若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数．





1．函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．( × )


2．正弦函数y＝sin x的图象是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ )


3．余弦函数y＝cs x是偶函数，图象关于y轴对称，对称轴有无数多条．( √ )

















一、三角函数的周期问题


例1 求下列函数的周期：


(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))；


(2)y＝|sin x|.


解 (1)方法一 (定义法)


y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)＋2π))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋π＋\f(π,4)))，


所以周期为π.


方法二 (公式法)


y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))中ω＝2，T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2)＝π.


(2)作图如下：





观察图象可知周期为π.


反思感悟 求三角函数周期的方法


(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．


(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq \f(2π,|ω|).


(3)观察法：即通过观察函数图象求其周期．


跟踪训练1 利用周期函数的定义求下列函数的周期．


(1)y＝cs eq \f(x,2)，x∈R；


(2)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,4)))，x∈R.


解 (1)因为cs eq \f(1,2)(x＋4π)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋2π))＝cs eq \f(x,2)，


由周期函数的定义知，y＝cs eq \f(x,2)的周期为4π.


(2)因为sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋6π－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋2π－\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,4)))，


由周期函数的定义知，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x－\f(π,4)))的周期为6π.





二、三角函数的奇偶性


例2 判断下列函数的奇偶性：


(1)f(x)＝sin xcs x；


(2)f(x)＝eq \f(cs x,1－sin x)；


(3)f(x)＝eq \r(1－cs x)＋eq \r(cs x－1).


解 (1)函数的定义域为R，关于原点对称．


∵f(－x)＝sin(－x)cs(－x)


＝－sin xcs x＝－f(x)，


∴f(x)＝sin xcs x为奇函数．


(2)函数应满足1－sin x≠0，


∴函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\| (\a\vs4\al\c1(x≠2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，显然定义域不关于原点对称，


∴f(x)＝eq \f(cs x,1－sin x)为非奇非偶函数．


(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－cs x≥0，,cs x－1≥0，))得cs x＝1，


∴函数的定义域为{x|x＝2kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称．


当cs x＝1时，f(－x)＝0，f(x)＝±f(－x)．


∴f(x)＝eq \r(1－cs x)＋eq \r(cs x－1)既是奇函数又是偶函数．


反思感悟 (1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：


一看函数的定义域是否关于原点对称；


二看f(x)与f(－x)的关系．


(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．


提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．


跟踪训练2 下列函数中周期为eq \f(π,2)，且为偶函数的是( )


A．y＝sin 4x B．y＝cs eq \f(1,4)x


C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,2))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)x－\f(π,2)))


答案 C


解析 显然周期为eq \f(π,2)的有A和C，


又因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,2)))＝cs 4x是偶函数，故选C.





三、三角函数的奇偶性与周期性的综合应用


例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))等于( )


A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)


答案 D


解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－π))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－π))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).


延伸探究


1．若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值．


解 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)π))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2).


2．若本例中函数的最小正周期变为eq \f(π,2)，其他条件不变，求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,6)π))的值．


解 因为f(x)的最小正周期是eq \f(π,2)，


所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,6)π))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3π＋\f(π,6)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×\f(π,2)＋\f(π,6)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(1,2).


反思感悟 三角函数周期性与奇偶性的解题策略


(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．


(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acs ωx(Aω≠0)其中的一个．


跟踪训练3 已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝1－sin x，求当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π，3π))时f(x)的解析式．


解 x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π，3π))时，3π－x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，


因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝1－sin x，


所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.


又f(x)是以π为周期的偶函数，


所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，


所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π，3π)).








1．下列函数中，周期为eq \f(π,2)的是( )


A．y＝sin x B．y＝sin 2x


C．y＝cs eq \f(x,2) D．y＝cs 4x


答案 D


2．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )


A．奇函数


B．偶函数


C．既是奇函数又是偶函数


D．非奇非偶函数


答案 A


解析 由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，


所以f(x)为奇函数．


3．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx－\f(π,2)))－1，则下列命题正确的是( )


A．f(x)是周期为1的奇函数


B．f(x)是周期为2的偶函数


C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数


D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数


答案 B


解析 f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πx－\f(π,2)))－1＝－cs πx－1，


从而函数为偶函数，且T＝eq \f(2π,π)＝2.


4．函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,2)－\f(π,4)))，x∈R的最小正周期为________．


答案 4


解析 由已知得f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4.


5．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝________.


答案 －3


解析 由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，


所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.





1．知识清单：


(1)周期函数的概念，三角函数的周期；


(2)三角函数的奇偶性；


(3)周期性、奇偶性的应用．


2．方法归纳：数形结合．


3．常见误区：函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的周期为T＝eq \f(2π,|ω|).








1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )


A．y＝sin eq \f(x,2) B．y＝cs eq \f(x,2)


C．y＝cs x D．y＝cs 2x


答案 D


解析 A中函数是奇函数，B，C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求．


2．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是( )








答案 B


解析 由f(－x)＝f(x)，


则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．


由f(x＋2)＝f(x)，


则f(x)的周期为2.故选B.


3．函数y＝4sin(2x－π)的图象关于( )


A．x轴对称 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线x＝eq \f(π,2)对称


答案 B


解析 y＝4sin(2x－π)＝－4sin 2x是奇函数，其图象关于原点对称．


4．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)＋\f(π,2)))的奇偶性是( )


A．奇函数 B．偶函数


C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数


答案 B


解析 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)＋\f(π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(x,2)))＝cs eq \f(x,2)，故为偶函数．


5．函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，则φ的值可以是( )


A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C．π D.eq \f(3π,2)


答案 C


解析 要使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，需φ＝kπ，k∈Z.故选C.


6．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，则f(6)＝________.


答案 3


解析 ∵函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，


∴f(6)＝f(2×2＋2)＝f(2)＝3.


7．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：


①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；


②存在φ，使f(x)是偶函数；


③存在φ，使f(x)是奇函数；


④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．


其中错误的是________(填序号)．


答案 ①④


解析 当φ＝0时，f(x)＝sin x，是奇函数，


当φ＝eq \f(π,2)时，f(x)＝cs x是偶函数．


8．若f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝cs x－sin x，当x<0时，f(x)的解析式为_______．


答案 f(x)＝－cs x－sin x


解析 x<0时，－x>0，f(－x)＝cs(－x)－sin(－x)＝cs x＋sin x，


因为f(x)为奇函数，


所以f(x)＝－f(－x)＝－cs x－sin x，


即x<0时，f(x)＝－cs x－sin x.


9．判断下列函数的奇偶性．


(1)f(x)＝lg(sin x＋eq \r(1＋sin2x))；


(2)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2))).


解 (1)因为1＋sin2x>sin2x，


所以eq \r(1＋sin2x)>|sin x|≥－sin x，


所以sin x＋eq \r(1＋sin2x)>0，


所以函数f(x)的定义域为R.


f(－x)＝lg[sin(－x)＋eq \r(1＋sin2－x)]


＝lg(－sin x＋eq \r(1＋sin2x))


＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin x＋\r(1＋sin2x))))


＝－lg(sin x＋eq \r(1＋sin2x))＝－f(x)，


所以f(x)为奇函数．


(2)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))＝－cs eq \f(3x,4)，x∈R.


又f(－x)＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3x,4)))＝－cs eq \f(3x,4)＝f(x)，


所以函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))是偶函数．


10．已知函数y＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(1,2)|sin x|.


(1)画出函数的简图；


(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．


解 (1)y＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(1,2)|sin x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，,0，x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，))


图象如图所示：





(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.





11．设f(x)是定义域为R，最小正周期为eq \f(3π,2)的函数，若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs x，－\f(π,2)≤x≤0，,sin x，0

A．1 B.eq \f(\r(2),2) C．0 D．－eq \f(\r(2),2)


答案 B


解析 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))＝f eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)×－3＋\f(3π,4)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝sin eq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2).


12．函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,4)x＋\f(π,3)))(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )


A．10 B．11 C．12 D．13


答案 D


解析 因为T＝eq \f(2π,\f(k,4))＝eq \f(8π,k)≤2，所以k≥4π，


又k∈N*，所以正整数k的最小值为13.


13．已知函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)＋φ))是奇函数，则φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，φ的值为________．


答案 －eq \f(π,4)


解析 由已知eq \f(π,4)＋φ＝kπ(k∈Z)，


∴φ＝kπ－eq \f(π,4)(k∈Z)，


又∵φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，


∴k＝0时，φ＝－eq \f(π,4)符合条件．


14．已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))，则f(x)的最小正周期是______；f(x)的对称中心是______．


答案 4π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)，0))，k∈Z


解析 由f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))，得T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π；令eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，求得x＝2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z，可得f(x)的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)，0))，k∈Z.





15．函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)))的最小正周期是________．


答案 2π


解析 ∵y＝sin eq \f(x,2)的最小正周期为T＝4π，而y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(x,2)))的图象是把y＝sin eq \f(x,2)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，


∴y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \f(x,2)))的最小正周期为T＝2π.


16．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)(f(x)≠0)．


(1)求证：函数f(x)是周期函数；


(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．


(1)证明 ∵f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)，


∴f(x＋4)＝－eq \f(1,fx＋2)＝－eq \f(1,－\f(1,fx))＝f(x)，


∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期，


(2)解 ∵4是f(x)的一个周期．


∴f(5)＝f(1)＝－5，


∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)


＝eq \f(－1,f－1＋2)＝eq \f(－1,f1)＝eq \f(1,5).