高考数学一轮复习第2章第9课时函数的零点与方程的解学案

这是一份高考数学一轮复习第2章第9课时函数的零点与方程的解学案，共25页。

2．理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3．了解用二分法求方程的近似解．
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
提醒：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
[常用结论]
1．若连续不断的函数f(x)在(a，b)上是单调函数，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点．
2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．( )
(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )
A B
C D
A [根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．]
2．(人教A版必修第一册P143例1改编)函数f(x)＝lg3x＋x－2的零点所在的区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
B [法一(定理法)：函数f(x)＝lg3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝lg32>0，f(3)＝2>0，根据函数零点存在定理可知，函数f(x)＝lg3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．
法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lg3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选B.
]
3．(多选) (人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(5，6) D．(5，7)
BCD [由所给的函数值表知，
f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0，∴函数f(x)必有零点的区间为(2，3)，(5，6)，(5，7)，故选BCD.]
4．(人教A版必修第一册P155习题4.5T8改编)已知函数f(x)＝x2+x-2，x≤0，-1+lnx，x>0 则f(x)的零点为________．
－2，e [由题意得，
x≤0， x2+x-2=0或x>0， -1+lnx=0，
解得x＝－2或x＝e.]
考点一 判定函数零点所在的区间
[典例1] (1)设函数f(x)＝13x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点
B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点
C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点
[四字解题]
(2)(2023·天津红桥模拟)函数fx＝2ex的图象与函数gx＝1x＋5的图象交点所在的区间可能为( )
A．0，1 B．1，2
C．2，3 D．3，4
(1)D (2)B [(1)法一(定理法): f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝13-1x＝x-33x，令f′(x)>0⇒x>3, f′(x)<0⇒0∴f(x)在(0，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
又f1e＝13e＋1>0，f(1)＝13>0，∴f(x)在1e，1内无零点．
又f(e)＝e3－1<0，∴f(x)在(1，e)内有零点．
法二(图象法)：令f(x)＝0得13x＝ln x.
其中y＝ln x过原点的切线方程为y＝1ex，
∵1e＞13，
∴作出函数y＝13x和y＝ln x的图象，如图，
显然y＝f(x)在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．
(2)设h(x)＝2ex－1x－5，y＝ex是R上的增函数，y＝1x在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是减函数，因此h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，只考虑在(0，＋∞)上的情形即可， h(1)＝2e－1－5＝2e－6<0，h(2)＝2e2－12－5＝2e2－112>0，所以h(x)在(1，2)上有零点．所以函数fx＝2ex的图象与函数gx＝1x＋5的图象交点所在的区间可能为1，2.故选B.]
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
[跟进训练]
1．(1)若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
(2)已知函数f(x)＝lga x＋x－b(a>0且a≠1)．当2(1)A (2)2 [(1)函数y＝f(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0．所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
(2)对于函数y＝lga x，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝lga x，y＝－x＋b的图象，判断出两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，所以函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.
]
考点二 确定函数零点的个数
[典例2] (1)函数f(x)＝lnx-x2+2x，x＞0，4x+1，x≤0 的零点个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)已知函数fx＝lnx，x>0 -x2-3x，x≤0 ，则关于x的函数y＝4f2x－13fx＋9的零点的个数为( )
A．8 B．7
C．5 D．2
(1)B (2)B [(1)当x＞0时，如图所示，作出函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，由图知，当x＞0时，f(x)有2个零点；当x≤0时，令f(x)＝0，得x＝－14.综上，f(x)有3个零点，故选B.
(2)根据题意，令4f2(x)－13f(x)＋9＝0，
得f(x)＝1或f(x)＝94.作出f(x)的简图：
由图象可得当f(x)＝1或f(x)＝94时，分别有4个和3个交点，故关于x的函数y＝4f2x－13fx＋9的零点的个数为7．故选B.]
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
[跟进训练]
2．(1)函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x<2时f(x)＝x2－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)(2021·北京高考)已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：
①若k＝0，则f(x)有两个零点；
②∃k＜0，使得f(x)有一个零点；
③∃k＜0，使得f(x)有三个零点；
④∃k＞0，使得f(x)有三个零点．
以上正确结论的序号是________．
(1)B (2)①②④ [(1)令f(x)＝x2－x＝0，
x＝0或x＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝0，
因为函数的最小正周期为2，
所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0，
f(－1)＝0，f(－3)＝0.
所以函数y＝f(x)的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为7.
(2)将f(x)＝|lg x|－kx－2转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2图象的交点问题．
对于①，当k＝0时，|lg x|＝2，两函数图象有两个交点，①正确；
对于②，存在k＜0，使y1＝|lg x|与y2＝kx＋2相切，②正确；
对于③，若k＜0，y1＝|lg x|与y2＝kx＋2最多有2个交点，③错误；
对于④，当k＞0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x＞1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确．]
考点三 函数零点的应用
根据函数零点个数求参数
[典例3] 已知函数f(x)＝ex，x≤0， lnx，x>0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是________．
[－1，＋∞) [函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.
]
【教师备选题】
1．已知函数f(x)＝x2+2x，x≤0，1x ，x>0， 若关于x的方程f(x)－a(x＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4－23) B．(4＋23，＋∞)
C．[0，4－23] D．(0，4－23)
D [画出f(x)的函数图象，
设y＝a(x＋3)，该直线恒过点(－3，0)，
结合函数图象，
若y＝a(x＋3)与y＝－x2－2x相切，
联立得x2＋(a＋2)x＋3a＝0，
Δ＝(a＋2)2－12a＝0，
得a＝4－23(a＝4＋23舍)，
若f(x)－a(x＋3)＝0有四个不同的实数根，
则02．若关于x的方程xx+4＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )
A．(0，1) B．14，1
C．14，+∞ D．(1，＋∞)
C [xx+4＝kx2有四个不同的实数解，
显然x＝0是方程的一个解，
下面只考虑x≠0时有三个实数解即可．
若x>0，原方程等价于1＝kx(x＋4)，
显然k≠0，则1k＝x(x＋4)．
要使该方程有解，必须有k>0，
则1k＋4＝(x＋2)2，此时x>0，方程有且只有一解；
所以当x<0时必须有两解，当x<0时，
原方程等价于－1＝kx(x＋4)，
即－1k＝x(x＋4)(x<0且x≠－4)，要使该方程有两解，
必须有－4<－1k<0，所以k>14.
所以实数k的取值范围为14，+∞.]
根据函数零点范围求参数
[典例4] (1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间12，3上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．2，52 D．2，103
(2)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________．
(1)D (2)14，12 [(1)由题意知方程ax＝x2＋1在12，3上有解，即a＝x＋1x在12，3上有解，设t＝x＋1x，x∈12，3，则t的取值范围是2，103.所以实数a的取值范围是2，103.
(2)依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足m≠2， f-1·f0<0，f1·f2<0， 即m≠2， 2m-12m+1<0，4m-18m-7<0，
解得14 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
[跟进训练]
3．(1)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
(2)已知函数f(x)＝2x，x≤1， x2-3x+3，x>1，若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为( )
A．12，1 B．38，12
C．38，12∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)
(1)C (2)C [(1)由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数的一个零点在区间(1，2)内，
所以f1<0，f2>0，即-a<0，3-a>0，解得0(2)作出函数f(x)的图象如图，
因为关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同的实根，
所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，结合图象，
得2a>2或34<2a≤1．解得a>1或38函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．
[典例] 函数f(x)＝ln-x-1，x＜-1，2x+1，x≥-1，若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
[赏析] 第一步：换元解套
设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．
第二步：辅助图形
在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．
第三步：数形结合
当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．
设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1.
当t1＜－1时，t1＝f(x)有一解；
当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．
第四步：归纳总结
综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．
[答案] [－1，＋∞)
该类问题考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本类问题的关键．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数．
[跟进训练]
(2023·湖南长郡中学模拟)已知函数fx＝lnx-1x，x>0x2+2x，x≤0，则函数y＝f(f(x)＋1)的零点个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
D [令t＝fx＋1＝lnx-1x+1，x>0x+12，x≤0 .
①当t>0时，f(t)＝ln t－1t，则函数f(t)在(0，＋∞)上单调递增，由于f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－12>0，由零点存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得ft1＝0；
②当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0．作出函数t＝f(x)＋1，直线t＝t1、t＝－2、t＝0的图象如图所示：
由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点；直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有一个交点．综上所述，函数y＝ffx+1的零点个数为5．故选D.]
课时分层作业(十三) 函数的零点与方程的解
一、选择题
1．(2023·青岛四市联考)方程2x＋3x－4＝0的实数根所在的区间为( )
A．12，1 B．-1，0
C．0，12 D．1，43
A [设f(x)＝2x＋3x－4，则f12＝2 12＋3×12－4＝2-52<0，f(1)＝21＋3－4＝1>0，f12f(1)<0，所以12，1是方程2x＋3x－4＝0的实数根所在的一个区间．又f(x)＝2x＋3x－4在R上单调递增，故方程2x＋3x－4＝0有唯一零点．故选A.]
2．利用二分法求方程lg3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
C [设f(x)＝lg3x－3＋x，
当x→0时，f(x)→－∞，f(1)＝－2，
又∵f(2)＝lg32－1<0，
f(3)＝lg33－3＋3＝1>0，
故f(2)·f(3)<0，
故方程lg3x＝3－x在区间(2，3)上有解，
即利用二分法求方程lg3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是(2，3)．]
3．(2023·重庆南开中学模拟)函数f(x)＝(e)x的图象与函数gx＝2－ln x的图象交点横坐标所在的区间为( )
A．0，1 B．1，2
C．2，3 D．3，4
B [函数f(x)＝(e)x的图象与函数gx＝2－ln x的图象交点横坐标，即为函数h(x)＝f(x)－g(x)＝ex＋ln x－2(x>0)的零点，
因为h′(x)＝12ex＋1x>0，所以h(x)在(0，＋∞)上为增函数，且图象连续不断，
因为h(1)＝e1＋ln 1－2＝e－2<0，h(2)＝e2＋ln 2－2＝e＋ln 2－2>0，
所以h(1)h(2)<0，
所以h(x)的零点所在的区间为1，2，
所以函数f(x)＝(e)x的图象与函数gx＝2－ln x的图象交点横坐标所在的区间为1，2，故选B.]
4．(2022·江门模拟) x表示不超过x的最大整数，例如＝1，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2．若x0是函数f(x)＝ln x－2x的零点，则[x0 ]＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [因为函数fx＝ln x－2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且图象连续不断，
且f2＝ln 2－1<0，f3＝ln 3－23>0，
又因为x0是函数fx＝ln x－2x的零点，
所以x0∈2，3，所以x0＝2，故选B.]
5．已知函数f(x)＝lg2(x＋1)－1x＋m在区间(1，3]上有零点，则m的取值范围为( )
A．-53，0
B．-∞，-53∪(0，＋∞)
C．-53，0
D．-∞，-53∪(0，＋∞)
C [由于函数y＝lg2(x＋1)，y＝m－1x在区间(1，3]上单调递增，所以函数f(x)在(1，3]上单调递增，
函数f(x)＝lg2(x＋1)－1x＋m在区间(1，3]上有零点，
则f1＜0，f3≥0，即m<0，m+53≥0，解得－53≤m<0.
因此，实数m的取值范围为-53，0.]
6．(多选)已知函数f(x)＝-x2-2x，x≤0lg2x，x>0，若x1A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．1BCD [由函数f(x)＝-x2-2x，x≤0lg2x，x>0，作出其函数图象如图所示，
由图可知，x1＋x2＝－2，－2当y＝1时，令|lg2x|＝1，x＝12或x＝2，
所以12由f(x3)＝f(x4)，得|lg2x3|＝|lg2x4|，
即lg2x3＋lg2x4＝0，
所以x3x4＝1，由图可知07．(多选)(2023·石家庄二中模拟)设函数fx＝x2+10x+1，x≤0lgx，x>0 ，若关于x的方程fx＝aa∈R有四个实数解x1，x2，x3，x4，且x1A．0 B．1
C．99 D．100
BC [函数图象如图所示：
因为关于x的方程fx＝aa∈R有四个实数解x1，x2，x3，x4，且x1y＝x2＋10x＋1的对称轴为x＝－5，所以x1＋x2＝－10.
因为lgx3＝lgx4，所以lg x3＋lg x4＝0，即x3x4＝1，x4＝1x3.因为lgx3≤1，所以110≤x3<1.
所以x1+x2x3-x4＝－10x3-1x3，
因为y＝－10x-1x，110≤x<1为减函数，
所以x1+x2x3-x4＝－10x3-1x3∈0，99.故选BC.]
8．(多选)(2023·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔()，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个数x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )
A．f(x)＝2x＋x B．g(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝x 12＋1 D．f(x)＝|lg2x|－1
BCD [选项A，若f(x0)＝x0，则2x0＝0，该方程无解，故A中函数不是“不动点”函数；
选项B，若g(x0)＝x0，则x02－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故B中函数是“不动点”函数；
选项C，若f(x0)＝x0，则x_(0)^12＋1＝x0，
可得x02－3x0＋1＝0，且x0≥1，
解得x0＝3+52，故C中函数是“不动点”函数；
选项D，若f(x0)＝x0，则|lg2x0|－1＝x0，
即|lg2x0|＝x0＋1，
作出y＝|lg2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，
由图可知，方程|lg2x|＝x＋1有实数根x0，
即|lg2x0|＝x0＋1，
故D中函数是“不动点”函数．]
二、填空题
9．已知函数f(x)＝23x+1＋a的零点为1，则实数a的值为________．
－12 [依题意，f(1)＝23+1＋a＝0，∴a＝－12.]
10．(2022·北京房山一模)函数fx的图象在区间(0，2)上连续不断，能说明“若fx在区间(0，2)上存在零点，则f(0)·f(2)<0”为假命题的一个函数fx的解析式可以为fx＝________．
x-12(答案不唯一) [函数fx的图象在区间(0，2)上连续不断，且“若fx在区间(0，2)上存在零点，则f(0)·f(2)<0”为假命题，可知函数fx满足在(0，2)上存在零点，且f(0)·f(2)≥0，所以满足题意的函数解析式可以为fx＝x-12.]
11．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，且当x∈0，12时，f(x)＝4x，则函数g(x)＝f(x)＋1x-1在-2，4上的零点之和为________．
6 [因为函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，所以函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝12，又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，又f(x＋1)＝f(－x)，所以f(x＋1)＝－f(x)，所以函数f(x)的周期为2，
又因为当x∈0，12时，f(x)＝4x，作出函数f(x)和y＝－1x-1的简图如图所示，
由图可知，有6个交点，这6个交点是关于点1，0对称的，且关于点1，0对称的两个点的横坐标之和为2，所以零点之和为3×2＝6.]
12．已知函数f(x)＝1x，x≥1，x3，x＜1. 若f(x0)＝－1，则x0＝________；若关于x的方程f(x)＝k有两个不同实根，则实数k的取值范围是________．
－1 (0，1) [由f(x0)＝－1，得x0≥1，1x0=-1或x0<1x03=-1，解得x0＝－1．关于x的方程f(x)＝k有两个不同实根等价于y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点，如图．观察图象可知，当0＜k＜1时，y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点，即k∈(0，1)．
]
13．(2022·烟台三模)已知函数fx＝lnx，x>0， x2+2x-1，x≤0，若方程fx＝ax－1有且仅有三个实数解，则实数a的取值范围为( )
A．0C．a>1 D．a>2
B [作出函数f(x)的图象如图：
依题意方程fx＝ax－1有且仅有三个实数解，
即y＝fx与y＝ax－1有且仅有三个交点，
因为y＝ax－1必过点0，-1，且f0＝－1，
若a≤0，方程fx＝ax－1不可能有三个实数解，
则必有a>0，
当直线y＝ax－1与y＝ln x在x>0时相切时，
设切点坐标为x0，y0，则f′(x)＝1x，即f′(x0)＝1x0，
则切线方程为y－y0＝1x0(x－x0)，
即y＝1x0·x＋y0－1＝1x0·x＋ln x0－1，
∵切线方程为y＝ax－1，
∴a＝1x0且ln x0－1＝－1，则x0＝1，所以a＝1，
即当a>0时y＝ax－1与y＝fx在0，+∞上有且仅有一个交点，
要使方程f(x)＝ax－1有且仅有三个实数解，
则当x≤0时fx＝x2＋2x－1与y＝ax－1有两个交点，设直线y＝ax－1与fx＝x2＋2x－1切于点0，-1，此时f′x＝2x＋2，则f′0＝2，即a＝2，
所以014．(多选)已知函数f(x)＝x2-kx+1，x≤0，lg2x，x>0，下列关于函数y＝ffx＋1的零点个数的说法中正确的是( )
A．当k>1时，有1个零点
B．当k＝－2时，有3个零点
C．当0＜k＜1时，有4个零点
D．当k＝－4时，有7个零点
ABD [令y＝0，得ffx＝－1，设fx＝t，则方程ffx＝－1等价为ft＝－1，函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上，过点0，1，对称轴为x＝k2.
对于A，当k>1时，作出函数fx的图象，
∵ft＝－1，此时方程ft＝－1有一个根t＝12，由fx＝12可知，此时x只有一解，即函数y＝ffx＋1有1个零点，故A正确；
对于B，当k＝－2时，作出函数fx的图象，
∵ft＝－1，此时方程ft＝－1有一个根t＝12，由fx＝12可知，此时x有3个解，即函数y＝f(f(x))＋1有3个零点，故B正确；
对于C，当0＜k＜1时，图象类似于选项A对应的图象，只有1个零点，故C错误；
对于D，当k＝－4时，作出函数fx的图象，
∵ft＝－1，此时方程ft＝－1有3个根，其中t1＝12，t2∈(－1，0)，t3∈(－4，－3)，由fx＝12可知，此时x有3个解，由fx＝t2∈(－1，0)可知，此时x有3个解，由fx＝t3∈(－4，－3)可知，此时x有1个解，即函数y＝ffx＋1有7个零点，故D正确．故选ABD.]x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
－4
－2
1
4
2
－1
－3
读
想
算
思
函数零点所在区间的判断问题
定理法
f 1e，f(e), f(1)的正负
等价转化、数形结合
图象法
画y＝13x和y＝ln x的图象