必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.2 集合的基本关系优秀导学案

这是一份必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.2 集合的基本关系优秀导学案，共7页。







知识点1 子集


一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”).


对应地，如果A不是B的子集，则记作A⃘B(或B⊉A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”).


[微思考]


(1)任何两个集合之间是否有包含关系？


(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？


提示 (1)不一定.如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系.


(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系.


知识点2 真子集


1.真子集的概念


2.子集、真子集的性质


(1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A.


(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，则A⊆C.[来源:Z|xx|k.Cm]


(3)对于集合A，B，C，如果AB，且BC，则AC.


(4)空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A.


[微体验]


1.思考辨析


(1)空集没有子集.( )


(2)任何集合至少有两个子集.( )


(3)空集是任何集合的真子集.( )


答案 (1)× (2)× (3)×


2.设集合A＝{三角形}，B＝{等腰三角形}，C＝{等边三角形}，则A，B，C之间的真包含关系是________.


答案 CBA


知识点3 集合相等


1.定义：一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B，读作“A等于B”.


2.结论：如果A⊆B且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B且B⊆A.


[微体验]


下列集合与集合{x|x2－x＝0}相等的是( )


A.{0} B.{1}


C.{0,1} D.{1,2}


答案 C











探究一 集合关系的判断


(1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是( )


A.M＝NB.NM


C.MND.N⊆M


(2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是( )


A.A⊆B B.A⊇B


C.AB D.AB


(1)C [解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1,2}，因为1∈M且1∈N,2∈M且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以MN.]


(2)D [因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集.]


[方法总结]


判断集合关系的方法


(1)观察法：一一列举观察.


(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.


(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.


提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB能准确表达集合A，B之间的关系.


[跟踪训练1] (1)已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是( )


A.M⊆P B.P⊆M[来源:学.科.网]


C.M＝P D.M，P互不包含


D [由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含.]


(2)判断下列每组中的两个集合的关系.


①A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|0＜x＜1}；


②集合A＝{2n＋1|n∈Z}，集合B＝{4k±1|k∈Z}.


解 ①将集合A与集合B在数轴上表示出来，如图所示，所以有BA.





②当n＝2k时，2n＋1＝4k＋1；


当n＝2k－1时，2n＋1＝4k－1，


故集合A中的元素也是4k±1，所以A＝B.


探究二 子集、真子集问题


已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，写出满足A⊆C⊆B的集合C的所有可能情况.


解 由A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1,2,3,4,5}，


又因为A⊆C⊆B，即{1,2}⊆C⊆{1,2,3,4,5}，


所以C中至少含有元素1,2，故C的所有可能情况是：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个.


[方法总结]


求集合子集、真子集个数的三个步骤





[跟踪训练2] 已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集.


解 因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，


所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}.


所以A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}.


A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}.


探究三 由集合间的包含关系求参数


已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|ax＝1}，且A⊇B，求实数a的值.


解 A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}.


①当a＝0时，B＝∅⊆A，符合题意.


②当a≠0时，B＝{x|ax＝1}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))，


因为eq \f(1,a)≠0，要使A⊇B，只有eq \f(1,a)＝1，即a＝1.


综上，a＝0或a＝1.


[方法总结]


由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法


(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；


②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.


(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.


[跟踪训练3] 已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|2a－3＜x＜a－2}，且A⊇B，求实数a的取值范围.


解 ①当2a－3≥a－2，即a≥1时，B＝∅⊆A，符合题意.


②当2a－3＜a－2，即a＜1时，要使A⊇B，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜1，,2a－3≥1，,a－2≤2，))


这样的实数a不存在.


综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}.











1.不能把“A⊆B”“AB”简单地理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.


2.集合与集合之间的关系有包含关系、相等关系，其中包含关系有：包含于(⊆)、包含(⊇)、真包含于()、真包含()等，用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的，但A⊆B与B⊆A是不同的.


3.解题中要特别注意“∈”与“⊆”的区别，不要犯“0⊆{0}”“{1}∈{0,1,2}”等概念错误.注意区分⊆与，例如BA，则A中至少比B中多一个元素.








课时作业(二) 集合的基本关系


[来源:ZXXK]


1.已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝[2，＋∞)，则下列结论正确的是( )


A.－3∈A B.3∉B


C.B⊆A D.A⊆B


C [集合A＝{y|y≥－1}＝[－1，＋∞)，B＝[2，＋∞)，所以B⊆A.]


2.集合M＝{x∈N|－2＜x≤3}的真子集个数为( )


A.7 B.8 [来源:ZXXK]


C.15 D.16


C [集合M中共有0,1,2,3四个元素，真子集的个数是24－1＝15.][来源:学.科.网]


3.若{1,2}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x2＋bx＋c＝0))，则( )


A.b＝－3，c＝2 B.b＝3，c＝－2


C.b＝－2，c＝3 D.b＝2，c＝－3


A [依题意知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两根，


由根与系数的关系得，b＝－(x1＋x2)＝－3，c＝x1x2＝2.]


4.已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )





B [因为M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，所以NM.]


5.已知A＝{x|x≤－2}，B＝{x|x＜m}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________.


m≤－2 [因为A＝{x|x≤－2}，B＝{x|x＜m}，又B⊆A，故得m≤－2.]


6.设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y,x)＝1))))，则A，B间的关系为________.


BA [(0,0)∈A，而(0,0)∉B，故BA.]


7.若{x∈Z|2x－a＝0}{x|－1＜x＜3}，则a的所有取值组成的集合为________.


{0,2,4} [由题意可知，－1＜eq \f(a,2)＜3，所以－2＜a＜6，又a＝2x，x∈Z，所以a取0,2,4.]


8.判断下列集合间的关系.


(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；


(2)A＝{x∈Z|－1≤x＜3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}.


解 (1)因为A＝{x|x－3＞2}＝{x|x＞5}，


B＝{x|2x－5≥0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(5,2)))))，


所以利用数轴判断A，B的关系，如图所示，AB.





(2)因为A＝{x∈Z|－1≤x＜3}，所以A＝{－1,0,1,2}，因为B＝{x|x＝|y|，y∈A}，


所以B＝{0,1,2}，所以BA.


9.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.若B⊆A，求实数m的取值范围.


解 ①当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝∅，满足B⊆A.


②当m＋1≤2m－1，即m≥2时，要使B⊆A成立，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1≤5))解得－3≤m≤3，则2≤m≤3.


综上可得m≤3时，有B⊆A.





1.设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,2)＋\f(1,4)，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,4)＋\f(1,2)，k∈Z))))，则( )


A.M＝N B.MN


C.MN D.以上都不对


B [对于集合M中元素x＝eq \f(k,2)＋eq \f(1,4)＝eq \f(2k＋1,4)，k∈Z，集合N中元素x＝eq \f(k,4)＋eq \f(1,2)＝eq \f(k＋2,4)，k∈Z，所以MN.]


2.若A＝{1,2}，B＝{x|x⊆A}，则B＝________.


{∅，{1}，{2}，{1,2}} [因为x⊆A，所以x＝∅，{1}，{2}，{1,2}.


所以B＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}.]


3.设集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为________.


M＝P [因为xy＞0，所以x，y同号.又x＋y＜0，所以x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.]


4.已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且只有两个子集，则a的取值是________.


－1,0,1 [集合A有且只有两个子集，则集合A中只有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0只有一个解，当a＝0时，2x＝0，x＝0，只有一个解.当a≠0时，Δ＝4－4a2＝0，a＝±1.所以a的取值为－1,0,1.]


5.已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.


(1)若AB，求a的取值范围；


(2)若B⊆A，求a的取值范围.


解 (1)若AB，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a＞2.


(2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.又因为a≥1，所以1≤a≤2.


6.(拓广探索)已知集合P＝{x|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x|(x＋1)2(x2＋3x－4)＝0}，集合P能否成为Q的一个子集？若能，求出m的取值范围；若不能，请说明理由.


解 当P＝∅时，P是Q的一个子集，此时方程x2－3x＋m＝0无实数根，即Δ＝9－4m＜0，所以m＞eq \f(9,4).


当P≠∅时，由于Q＝{－1，－4,1}，


当－1∈P时，－1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－4，此时P＝{4，－1}不是Q的一个子集.


当－4∈P时，－4是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝－28，此时P＝{－4,7}不是Q的一个子集.


当1∈P时，1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，


所以m＝2，此时P＝{1,2}不是Q的一个子集.


综上所述，若集合P能成为集合Q的子集，满足条件的m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m|m＞\f(9,4))).


课程标准
学科素养
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.



通过对集合的基本关系的学习，提升“直观想象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.
2.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用.
自然语言
一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.
符号语言
AB(或BA)
图形语言