数学九年级上册（2024）3 二次函数的应用图片ppt课件

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写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) y = x2-4x-5； (2) y = -x2-3x+4.
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x = 2； 顶点坐标：（2，-9）；
想一想：如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？
例1 写出下列抛物线的最值.（1）y = x2-4x-5;
解：(1)∵a=1＞0，对称轴为 x=2，顶点坐标为（2，-9）, ∴当x=2时，y 取最小值，最小值为-9;
(2) y = -x2-3x+4.
(2)∵a= -1＜0，对称轴为 x= ，顶点坐标为（ ， ）, ∴当x= 时，y 取最大值，最大值为 ;
例2 已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 的最小值为 2，则 a 的值为(　　)A．3 　　B．－1 　　　C．4 　　　D．4或－1
解析：∵二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 有最小值 2，∴a＞0，y最小值＝ ＝ ＝2，整理，得 a2－3a－4＝0，解得 a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选 C.
引例 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当 t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
小球运动的时间是 3 s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．
1. 一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大？
解：设AB=x，则AD= ，
∴当x=1时，S有最大值 .
即当AB，AD分别为1m，1.5m时，窗户面积最大，为1.5m2.
2. 如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边 AB = x m，面积为 S m2.
（1）写出 S 与 x 之间的关系式，并指出 x 的取值范围；
解：（1）S=x·(80－2x)=-2x2+80x
由题意0＜80－2x≤50
（2）S=x·(80－2x)=-2x2+80x
=-2(x-20)2+800
∴当x=20时， S 有最大值800.
即当AB，BC分别为20m，40m时，羊圈面积最大，为800m2.
（2）当 AB， BC 分别为多少米时，羊圈的面积最大?最大面积是多少?
3. 在前面的问题中，如果设AD边的长为xm，那么问题的结果会怎样？
解：∵AD=xm，DC∥AB，
∴ ，
∴DC=AB= ，
∴当x=15时， y有最大值300.
7. 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为 900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为 0.5 m.
解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），对称轴为 y 轴，设抛物线的函数表达式为 y = ax2+0.5.抛物线经过点（450，81.5），代入上式，得 81.5=a•4502+0.5.解得故所求表达式为 .
(1) 若以桥面所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图，求这条抛物线对应的函数表达式；
(2) 计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
解：当 x=450－100=350 (m) 时，得
当 x=450－50=400 (m) 时，得
常见几何图形的面积公式
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
（二次函数的图象和性质）
（实物中的抛物线形问题）