初中北师大版（2024）3 二次函数的应用示范课ppt课件

这是一份初中北师大版（2024）3 二次函数的应用示范课ppt课件，共31页。PPT课件主要包含了如何设函数表达式呢，待定系数法，☀方法归纳，a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝-5，b＝3，a＝2，解得a-1，-2-2●等内容，欢迎下载使用。
1.会利用待定系数法求二次函数的表达式.（重点）2.会分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）3.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.二次函数表达式的一般形式是什么?
二次函数表达式的顶点式是什么?
y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
y=a(x-h)2+k (a ≠0)
思考: 如果确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0）的关系式时，通常又需要几个条件？
分析：图象为一条抛物线，因此y是x的二次函数，且已知顶点坐标，因此可以设顶点式y=a(x-h)2+k (a ≠0)，图象过点（10，0），将其代入表达式即可求出待定系数a.
一名学生推铅球时，铅球向上运动的高度y(单位：m)是向前运动的水平距离x(单位：m)的二次函数，它们之间的关系图如图所示，其中（4，3）为图象的顶点，你能求出这个二次函数的表达式吗？
想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流.
确定二次函数的关系式y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)，通常需要3个条件; 当知道顶点坐标（h,k）和图象上的另一点坐标两个条件时，用顶点式 y=a(x-h)2+k 可以确定二次函数的关系式.
例1 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求这个二次函数的表达式.
解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入表达式y=ax2+c中，得
∴所求二次函数表达式为y=2x2－5.
分析：确定二次函数y＝ax2+c的表达式，只需确定a,c两个系数的值，需要知道两个点坐标，因此此题只要把已知两点坐标代入即可.
(1)形如y＝ax2的二次函数，因为只有一个未知系数a，所以只需要知道图象上一个点的坐标.(2)形如y＝a(x-h)2，y＝ax2+c和y＝ax2+bx的二次函数，有两个未知系数，所以需要知道图象上两个点的坐标.(3)形如y＝a(x-h)2+k的二次函数，如果已知二次函数的顶点坐标，那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.
分析：此题顶点坐标未知，因此可以设一般式y＝ax2+bx+c，因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即c＝1，因此只有两个未知系数a和b，又已知两点的坐标，代入即可求出表达式.
想一想：在什么情况下，已知二次函数图象上两点就可以确定它的表达式？
1.求二次函数表达式采用的一般方法是 .
2.求二次函数表达式的步骤和方法:
(1)设二次函数的表达式；(2)根据图象或已知条件列方程(或方程组)；(3)解方程（或方程组）,求出待定系数；(4)答：写出二次函数的表达式.
将三个点代入y＝ax2+bx+c后，会得到一个什么样的方程组呢？
分析：因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即函数图象过点（0，1），因此知道三个点的坐标，设y＝ax2+bx+c，能不能确定这个二次函数的表达式呢？
做一做：已知二次函数的图象经过点(－1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
解: 设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
∴所求二次函数表达式为 y=2x2-3x+5.
∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
你会解三元一次方程组吗？
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a,b,c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
一般式法求二次函数表达式的方法:
例2 已知二次函数的图象经过点(－1,－5),(0,－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
如图所示，二次函数图象经过点（-3,0）,（-1,0）,（0,-3）,试求出这个二次函数的表达式.
拓展 交点法求二次函数关系式
解：∵(-3,0),(-1,0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).其中x1、x2为交点的横坐标.因此得y=a(x+3)(x+1).
再把点（0,-3）代入上式得a(0+3)(0+1)=-3，
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.
例3 已知抛物线图象上三个点的坐标（1,0）,（3,0）,（2,-1）,求二次函数关系式.
解法一: 设所求二次函数关系式为：y = ax2+bx+c. 又抛物线过点（1,0）,（3,0）,（2,-1）,依题意得:
∴所求的函数关系式为y = x2-4x+3.
解法二: ∵点（1,0）和（3,0）是抛物线与x轴的两个交点， ∴设二次函数关系式为：y=a(x-1)(x-3),又抛物线过点(2,-1), ∴ -1=a（2-1)（2-3） 解得a=1， ∴ y=(x-1)(x-3) 即所求的函数关系式为y = x2-4x+3.
解法三： ∵点（1,0）和（3,0）关于直线x =2对称,所以(2,-1)是抛物线的顶点坐标，∴设二次函数关系式为：y = a(x-2)2-1, 又抛物线过点（3,0）, ∴ 0=a(3-2)2-1, 解得a=1, ∴ y = (x-2)2-1,即所求函数关系式为y = x2-4x+3.
☀方法归纳 用待定系数法求二次函数表达式的常见设法：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；（已知抛物线上三点坐标或三对x、y的值，用一般式）
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k；（已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，用顶点式）
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)．（已知抛物线与x轴交点的横坐标x1，x2，用交点式）
解：建立如图所示坐标系,设二次函数解析式为y=ax2.
例4 如图，某球员在罚球线处投篮，球从点A处出手，恰好经过篮圈中心B.已知球出手的位置A到地面的距离为2.25m，到篮圈中心B的水平距离为4m，篮圈中心B到地面的距离为3.05m.建立如图所示的平面直角坐标系后，这位球员所投球的运动路线是抛物线y=ax2+c（-3≤x≤1）.求这条抛物线的表达式和球运动的最大高度.
解决抛物线型问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
2.已知二次函数y＝x2＋bx－2的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，则该二次函数的表达式为( )A．y＝x2－2x B．y＝x2＋x－1C．y＝x2＋x－2 D．y＝x2－x－2
4.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .
3.已知二次函数图象的顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），则这个二次函数的表达式为 .
5.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是 .
y=-2(x-1)2+6
6.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m.(1)求抛物线的解析式.(2)如果该隧道内设双行道，现有一辆卡车高4.2 m，宽2.4 m，这辆卡车能否通过该隧道？说明理由．