初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）第五章 二次函数1 认识二次函数优秀第1课时精练

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本课核心问题
怎样从一个真实情境中找出变量关系、写成解析式，并有依据地判断它是不是二次函数？
一、学习目标
1. 能从具体情境中识别自变量和因变量，写出变量之间的关系式，并说明自变量的实际取值范围。
2. 理解二次函数的一般形式y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），能先化简再判断一个函数是否为二次函数。
3. 能在文字、数据表、解析式和坐标点之间进行简单转换，并用二次函数模型解释实际数量关系。
二、重点
• 从两个随x变化的数量之间建立乘积关系，化为y=ax²+bx+c。
• 依据a≠0和化简后的最高次数识别二次函数。
三、难点
• 把解析式的代数范围与长度、数量、增长率等实际约束结合起来，完整写出自变量范围。
学习支架
情境建模六步
1. 定变量：说明x、y分别表示什么
2. 找关系：写出总量与两个变化量的关系
3. 列乘积：先保留数量意义
4. 逐行化简：展开并合并同类项
5. 定范围：写代数条件和实际约束
6. 再判断：化为一般形式并检查a≠0
情境—关系—范围对照
a≠0为什么不能少
四、知识要点
1. 先看变量：谁在主动变化，谁随它变化
一个实际问题中可能出现许多数，但真正要研究的是两个变量之间的对应关系。通常先选一个便于控制或描述的量作自变量x，再把随x确定的量记作因变量y。例如固定周长的矩形中，选一边长x后，另一边长随之确定，面积y也随之确定。判断变量角色不能只看字母名称，要看“给定谁，谁就随之唯一确定”。范围也从这一步开始：若x表示长度，则x>0；若x表示增加的棵数、排数或件数，往往还要求x是非负整数。
2. 从数量关系到解析式：先保留意义，再展开
常见二次关系来自两个都含x的一次式相乘。建模时先写有意义的乘积式，再逐行展开，能减少漏项和符号错误。一般过程：y=变化量1×变化量2
y=(p+mx)(q+nx)
y=pq+pnx+mqx+mnx²
y=mnx²+(pn+mq)x+pq
若mn≠0，就出现非零二次项。最后还要回到题意确定x的范围，不能把“式子对所有实数有意义”误写成“情境中x可取任意实数”。
3. 二次函数的一般形式与识别标准
一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c，其中a、b、c是常数，a≠0，那么称y是x的二次函数。识别三步：第一步，确认研究的是y关于x的函数；第二步，把右边化简为整式；第三步，看最高次数是否为2，并检查二次项系数a是否不为0。b、c允许为0，所以y=5x²、y=-x²+3都是二次函数。若a=0，式子降为一次函数或常量函数；若自变量在分母或指数位置，也不能写成上述一般形式。
4. 函数值、数据表与实际解释
解析式确定后，给定允许范围内的一个x值，就能得到唯一的y值，这正体现了函数的对应关系。可以把若干组（x，y）列成数据表，也可以在坐标系中描成点。描点只是把同一对应关系换一种表示：先代入求值，再写有序数对，最后按横坐标、纵坐标定位。本课不从这些点归纳开口、对称轴或最值。解释结果时要写单位并检验是否符合情境。例如方程可能有两个代数解，但增长率、长度或时间的实际限制可能只允许其中一个。
五、典型例题
【例1】
例1 一块长方形校园展示板的周长是36 m。设一边长为x m，面积为y m²。写出y与x的关系式和x的取值范围，并判断y是否为x的二次函数。
【例2】
例2 科技节布置体验区，原计划每排摆12张桌子，共18排。调整后每排增加2x张，同时减少x排，总桌数为y张。写出关系式、化为一般形式，并确定x的实际取值。
【例3】
例3 判断下列关系中y是否为x的二次函数，并说明理由：①y=2x²-3x+1；②y=(x+1)²-x²；③y=3/x²+1；④y=(m-1)x²+2x（m为常数）。
【例4】
例4 某公益项目本月筹得15万元，预计随后两个月按相同的月增长率x持续增长。设两个月后筹款额为y万元，写出关系式、一般形式和x的范围。
【例5】
例5 物体从静止开始运动，路程s（m）与时间t（s）的关系为s=0.5t²，研究0≤t≤4。求t=0，1，2，3，4时的s，并说明怎样把这些对应关系表示在坐标系中。
同 步 练 习
情境建模六步
1. 定变量：说明x、y分别表示什么
2. 找关系：写出总量与两个变化量的关系
3. 列乘积：先保留数量意义
4. 逐行化简：展开并合并同类项
5. 定范围：写代数条件和实际约束
6. 再判断：化为一般形式并检查a≠0
a≠0为什么不能少
把表中的（t，s）描成点：只观察对应，不研究图像性质
★ 基础巩固
1. 1. 二次函数y=2x²-3x+4中，a=（________），b=（________），c=（________）；定义要求（________）≠0。
2. 2. y=3x²+2x是y关于x的二次函数。（________）（ ）
3. 3. y=(x-1)(x+1)-x²是y关于x的二次函数。（________）（ ）
4. 4. 对任意常数m，y=(m-2)x²+x都一定是二次函数。（________）（ ）
5. 5. 化简y=x(16-x)，并判断y是否为x的二次函数。
6. 6. 将y=3(1+x)²化为y=ax²+bx+c的形式。
7. 7. 一个周长为24 cm的矩形，一边长为x cm，则另一边长为（________）cm；若面积为y cm²，则x的实际范围是（________）。
8. 8. 已知s=0.5t²。当t=6时，求s。
9. 9. 仓库原有30排货架，每排20箱。调整时增加x排，同时每排减少x箱，总箱数为y。关系式为（________），若每排至少1箱且x表示增加的排数，则x可取（________）。
10. 10. 若y=x(12-x)表示一块固定周长矩形的面积，因为解析式对所有实数x都有意义，所以情境中x可取任意实数。（________）（ ）
11. 11. 化简y=(2x-1)²-4x²+3x，并判断它是不是二次函数。
★★ 能力提升
12. 12. 下列函数中，y是x的二次函数的是（________）。
A. y=2^x+1
B. y=-3x²+5
C. y=4/x²+x
D. y=(x+2)²-x²
时间与路程
13. 13. 表中记录了某物体运动时间t与路程s的部分对应值。根据数据写出一个符合表中所有数据的关系式，并判断s是否为t的二次函数。
14. 14. 一根28 m长的绳子围成一个矩形。设一边长为x m，面积为y m²。（1）写出关系式并化为一般形式；（2）写出x的实际范围；（3）判断y是否为x的二次函数。
先算函数值
描出（t，s）
15. 15. 已知s=0.5t²，0≤t≤4。完成表格，并在所给坐标系中描出相应的五个点。只需描点，不要求连线或说明图像性质。
16. 16. 函数y=(k+1)x²-2x+3是y关于x的二次函数，则k应满足（________）。
A. k=1 B. k≠1
C. k=-1 D. k≠-1
定义条件核对
17. 17. 小明说：“y=ax²+bx+c中只要b、c中有一个等于0，就不是二次函数。”请判断并用两个不同类型的反例说明。
★★★ 拓展延伸
18. 18. 学校礼堂原来每排18个座位，共20排。改造方案是每排增加x个座位，同时减少2x排，改造后的座位总数为y。（1）写出y与x的关系式并化为一般形式；（2）若排数和每排座位数都为正整数，写出x的取值；（3）说明y是否为x的二次函数，并用x=0复核模型。
19. 19. 某社团现有50名成员，预计以后连续两年按相同的年增长率x增长，两年后人数为y。（1）写出y与x的关系式并化为一般形式；（2）若两年后有72名成员，求x；（3）结合“增长率”约束检验方程的解。
20. 20. 校园义卖某纪念品原价15元时预计售出40件。调查显示，售价每降低1元，预计多售出2件。设每件降低x元，总销售额为y元。（1）写出单价、销量与x的关系；（2）建立y与x的关系式并化简；（3）写出x的实际取值；（4）当x=5时求销售额，并说明模型中的函数思想。
情境
自变量x
因变量y
范围特征
固定周长矩形
一边长
面积
连续正数，且另一边也为正
分排摆放物品
调整的排数
总数量
非负整数，且每排数量为正
连续两期增长
每期增长率
末期数量
按“增长”题意通常x>0
a≠0
a=0
y=2x²-3x+1，最高次数是2，是二次函数。
y=0x²-3x+1=-3x+1，最高次数降为1，不是二次函数。
a≠0
a=0
y=2x²-3x+1，最高次数是2，是二次函数。
y=0x²-3x+1=-3x+1，最高次数降为1，不是二次函数。
t/s
0
1
2
3
s/m
0
2
8
18
t/s
0
1
2
3
4
s/m
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
错误理解
正确理解
a、b、c都必须不为0
只要求a≠0；b、c可以为0