北师大版（2024）九年级上册（2024）1 用树状图或表格求概率优秀第1课时表格同步达标检测题

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本课核心问题
面对两步或多步随机试验，怎样确认样本点等可能、完整枚举所有结果，并用可复核的方式算出概率？
一、学习目标
1. 能判断样本点是否等可能，并说明用“有利结果数÷所有可能结果数”的前提。
2. 会用列表、表格或分层树状步骤不重复、不遗漏地列出两步及简单多步试验的所有结果。
3. 能区分放回与不放回试验，正确计算概率，并用总数、分类或不同表示进行自检。
二、重点
• 把实际试验转化为等可能样本空间，并用表格或树状层级完整枚举。
• 从完整样本空间中准确识别有利结果并计算概率。
三、难点
• 识别类别背后的样本点是否等可能，以及放回与不放回时第二步分支的变化。
学习支架
树状图或表格求概率六步法
1. 定步骤：明确试验进行几步，每一步可能出现什么结果
2. 验等可能：检查基本对象是否均匀、等面积或已编号
3. 选表示：两步可列表格，多步可按层画树状关系
4. 列样本点：从第一层到最后一层写出每条完整路径
5. 算概率：有利结果数÷所有等可能结果数
6. 做自检：核对总数、分类和或换一种表示
两枚均匀硬币的完整样本空间
放回与不放回的模型边界
四、知识要点
1. 先问“每个样本点真的等可能吗”
当试验的所有基本结果出现的可能性相同时，事件A的概率才可直接写成P(A)=事件A包含的结果数÷所有可能结果数。判断等可能不能只看名称：盒中有2个红球和1个蓝球时，“红”“蓝”是两个颜色类别，但摸到红色的机会是摸到蓝色的2倍。可把球记为红1、红2、蓝，使三个基本对象等可能。转盘也要看扇形面积；若红区240°、蓝区120°，应把红区等分为红1、红2两个120°区域，再与蓝区一起计数。
2. 两步试验：表格与树状关系都要落到完整路径
二维表格适合“第一步有m种、第二步有n种”的试验：行表示第一步，列表示第二步，每个格子写一个有序结果，理论上共有m×n个样本点。树状关系则从“开始”出发，第一层写第一步分支，第二层从每个第一层分支继续展开，根到叶的一条完整路径才是一个样本点。两种方法必须得到同一批结果。注意（红，蓝）表示先红后蓝，（蓝，红）表示先蓝后红，通常不能合并。
3. 多步试验：逐层展开，必要时分类穷举
三步及以上试验不适合把所有信息挤在一个大表里，可用分层树状步骤或分类列表。先固定第一步的一类，再穷举后续各层；完成后换到第一步的下一类。若每一步分别有a、b、c种等可能选择，总结果数应为a×b×c，这个乘积可用于检查叶节点数。事件还可按“出现次数”“和的范围”“余数类别”等互不重叠且覆盖全部的类别统计，各类数量之和必须等于样本空间总数。
4. 放回与不放回：模型一变，树和表都要变
放回后，下一次试验回到原来的组成，每一层分支结构不变；不放回后，剩余对象随前一步变化，下一层分支数和概率必须更新。例如红1、红2、蓝连续取两次：放回有3×3=9个等可能有序结果；不放回只有3×2=6个等可能有序结果，且（红1，红1）、（红2，红2）、（蓝，蓝）都不可能。自检时要问：是否给同类对象编号？是否删除无效路径？各分类数量之和是否等于总数？概率是否在0与1之间？
五、典型例题
【例1】
例1 连续掷两枚质地均匀的硬币，求恰有一枚正面朝上的概率。
【例2】
例2 从甲、乙两组数字卡片中各随机抽1张，每组卡片都写有1、2、3。求两数之和不小于5的概率。
【例3】
例3 连续掷三次质地均匀的硬币，求恰有两次正面朝上的概率。
【例4】
例4 转盘A的红色区域为240°、蓝色区域为120°；转盘B红、蓝两色各占180°。同时转动两个转盘，两个颜色一红一蓝可配成紫色。求成功的概率。
【例5】
例5 盒中有2个红球和1个蓝球，除颜色外完全相同。摸1球，放回并摇匀，再摸1球。求两次颜色相同的概率。
【例6】
例6 仍用2个红球和1个蓝球，改为摸出第1个球后不放回，再摸第2个球。求两次颜色相同的概率，并与例5比较。
同 步 练 习
树状图或表格求概率六步法
1. 定步骤：明确试验进行几步，每一步可能出现什么结果
2. 验等可能：检查基本对象是否均匀、等面积或已编号
3. 选表示：两步可列表格，多步可按层画树状关系
4. 列样本点：从第一层到最后一层写出每条完整路径
5. 算概率：有利结果数÷所有等可能结果数
6. 做自检：核对总数、分类和或换一种表示
放回与不放回的模型边界
样本空间枚举与自检记录表
★ 基础巩固
1. 1. 连续掷两枚质地均匀的硬币，所有等可能的有序结果共有（________）种。
2. 2. 已列出两枚硬币的结果（正，正）、（正，反）、（反，反），漏掉的结果是（________）。
3. 3. 只要表格中每一种颜色组合各写一次，就一定可以按格子数直接求概率。（________）（ ）
4. 4. 转盘A有2个等面积区域，转盘B有3个等面积区域，同时转动时共有（________）个等可能结果。
5. 5. 从两组相同的数字卡片1、2、3中各抽1张，计算两数之和等于4的概率。
三层树状关系
1. 第一层：正、反
2. 第二层：每个分支下再分正、反
3. 第三层：每个二级分支下再分正、反
4. 从根到叶写成正正正等三元结果
6. 6. 连续掷三次质地均匀的硬币，完整路径共有（________）条。
7. 7. 连续掷三次质地均匀的硬币，计算三次结果完全相同的概率。
8. 8. 盒中有2个红球、1个蓝球，摸后放回再摸。计算两次都摸到红球的概率。
9. 9. 盒中有2个红球、1个蓝球，第一次摸后不放回。计算两次都摸到红球的概率。
10. 10. 不放回摸球时，无论第一次摸到什么，第二次的可选对象都比原来少1个。（________）（ ）
11. 11. 在有顺序的两步试验中，（A，B）和（B，A）一定是同一个结果。（________）（ ）
12. 12. 一个均匀转盘的红区240°、蓝区120°。为建立等可能样本点，可把红区等分成（________）个120°区域。
13. 13. 同时掷一枚均匀硬币和一枚均匀六面骰子，样本空间共有（________）个等可能结果。
14. 14. 某两步试验第一步有3种结果，第二步有4种结果，且每个一级分支下都有4个二级分支。若只列出11个叶节点，说明至少漏了（________）个结果。
★★ 能力提升
15. 15. 袋中有红1、红2、蓝三个球，连续不放回摸两次。下列哪组是完整样本空间？
A. （红，红）、（红，蓝）、（蓝，红）、（蓝，蓝）
B. （红1，红1）、（红2，红2）、（蓝，蓝）
C. （红1，红2）、（红1，蓝）、（红2，红1）、（红2，蓝）、（蓝，红1）、（蓝，红2）
D. 红红、红蓝、蓝红
甲、乙两袋结果表
16. 16. 甲袋有数字卡1、2、3，乙袋有数字卡2、4。每袋各随机抽1张。用表格列出全部结果，并求两数乘积为偶数的概率。
17. 17. 同时掷一枚质地均匀的硬币和一枚均匀六面骰子。求“硬币正面朝上且骰子点数大于4”的概率。
两个转盘的完整结果表
18. 18. 转盘A有红、蓝、绿三个等面积区域，转盘B有红、蓝两个等面积区域。填写结果表，并求两个转盘颜色相同的概率。
19. 19. 转盘A红区240°、蓝区120°，转盘B红蓝各180°。小华只按红、蓝各一支画树状图，得到配成紫色的概率2/4=1/2。结果虽正确，方法是否可靠？请说明并修正。
按第一步展开三层树状关系
1. 第一层固定第一次为红或蓝
2. 第二层在每个分支下继续分红或蓝
3. 第三层再次分红或蓝
4. 圈出红球恰出现两次的叶节点
5. 用2³=8检查叶节点总数
20. 20. 袋中有1个红球、1个蓝球，每次摸1球后放回。连续摸三次，求恰有两次摸到红球的概率。请按红球出现的位置分类列举。
21. 21. 盒中有3个红球、2个白球，连续不放回摸两次。求两次颜色不同的概率。
★★★ 拓展延伸
22. 22. 两名同学独立经过同一路口，每人都等可能地选择直行、左转、右转。求至少有一人直行的概率，并用正向枚举与反向事件两种方法自检。
两种模型的计数对比
23. 23. 盒中有2个红球、2个蓝球。分别求“摸后放回再摸”和“摸后不放回再摸”时两次颜色相同的概率，并解释差异。
两数之和S与余数分类
24. 24. 甲、乙各从写有0、1、2的三张卡片中随机抽1张，记两数之和为S。设计一个由A、B、C三人参与的公平游戏：按S除以3的余数分配胜者，并完整说明为什么公平。第一枚
第二枚
样本点
恰有一枚正面
正
正
（正，正）
否
正
反
（正，反）
是
反
正
（反，正）
是
反
反
（反，反）
否
放回
不放回
第一次后把原物放回；第二次可选对象与第一次相同，方形表格中的全部有序对都有效。
第一次后少一个对象；第二次必须按剩余对象分支，同一实物连续出现的有序对无效。
放回
不放回
第一次后把原物放回；第二次可选对象与第一次相同，方形表格中的全部有序对都有效。
第一次后少一个对象；第二次必须按剩余对象分支，同一实物连续出现的有序对无效。
第一步
第二步/第三步
完整样本点
是否有利
自检标记
甲袋\乙袋
2
4
是否为偶数
转盘A\转盘B
红
蓝
模型
总结果数
同色结果数
概率
放回
4×4=16
4+4=8
1/2
不放回
4×3=12
2+2=4
1/3
甲\乙
0
1
2
0
S=0，余0
S=1，余1
S=2，余2
1
S=1，余1
S=2，余2
S=3，余0
2
S=2，余2
S=3，余0
S=4，余1