初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）4.5 二次函数的应用巩固练习

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本课核心问题
怎样把一个现实最值或抛物线轨迹问题，转化为可求、可验、可解释的二次函数模型？
一、学习目标
1. 能从面积、利润、拱形和运动情境中选择变量，列出二次函数并写出实际取值范围。
2. 能用配方法或顶点公式求给定范围内的最值，并判断顶点是否在实际定义域内。
3. 能把函数最值或图象信息解释为带单位、满足限制的现实方案。
二、重点
• 建立二次函数模型并确定自变量的实际范围。
• 把顶点或区间端点对应回面积、价格、高度等实际量。
三、难点
• 顶点在区间外或变量只能取整数时，正确确定实际最值。
学习支架
二次函数应用题建模流程
1. 审情境：找目标量与约束
2. 设变量：写含义、单位和范围
3. 列函数：把目标量表示成二次函数
4. 求最值：配方/顶点并与定义域对照
5. 作解释：还原实际量、单位并检验限制
变量与单位检查表
crdinate_graph：拱高4.5米、跨度12米的抛物线
情境示意：一边靠墙的矩形围栏
定义域与最值对照
易错对比：先看顶点，还是先看范围
四、知识要点
1. 五步建立二次函数模型
第一步审清目标量和约束；第二步设自变量并写含义、单位、范围；第三步依据数量关系列出目标量的二次函数；第四步配方或用顶点公式求候选最值；第五步把候选值与定义域对照，再写现实结论。建模不是只列一个式子，范围和解释同样属于模型。
2. 面积最值的乘积结构
矩形面积通常写成“一个变量×由总长表示的另一边”，展开后得到二次函数。若开口向下，顶点给出面积的候选最大值。边长必须为正，若还有道路宽度、隔档或场地边界，应把这些限制一并写入定义域。
3. 利润与定价模型
总利润=单件利润×销售量，其中单件利润=售价-成本。涨价会减少销量、降价会增加销量时，两项都随变量变化，乘积通常是二次函数。还要检查销量非负、最高限价、最低售价和价格是否只能取整数。
4. 拱形与运动轨迹模型
拱桥、悬索、喷泉和运动轨迹可在给定区间内近似为抛物线。把顶点放在坐标轴上常能简化表达式，再用端点或已知点求系数。横坐标和纵坐标的现实含义必须明确，例如x可能表示距中线的距离而不是整座拱桥的宽度。
5. 给定区间与实际最值
若顶点横坐标在实际定义域内，比较开口方向即可确定最值；若顶点在区间外，应利用区间内的增减性或比较端点值。若变量只能取整数，就比较最靠近顶点的可取整数。最后还要复核长度、销量、时间等限制是否全部满足。
五、典型例题
【例1】
例1（面积最值）用40米围栏围成一边靠墙的矩形花圃，靠墙的一边不用围。花圃的宽和长各是多少米时面积最大？最大面积是多少平方米？
【例2】
例2（利润/定价）某饮品成本5元/杯，售价12元时每天售240杯。售价每提高1元，销量减少12杯。售价提高多少元时日利润最大？此时售价、销量和最大利润分别是多少？
【例3】
例3（拱桥模型）某拱门截面是抛物线，地面跨度12米，拱顶高4.5米。以地面中点为原点、地面为x轴建立坐标系，求抛物线表达式，并求距中线4米处的拱高。
【例4】
例4（运动高度）一小球从离地1米处竖直上抛，t秒后的高度为h=-5t²+20t+1（米）。小球何时最高？最大高度是多少？模型的实际时间范围是什么？
【例5】
例5（给定区间最值）某门店投入x百元进行单日宣传，测得净收益y百元满足y=-2x²+24x+80。因预算限制2≤x≤5，问投入多少元时净收益最大？最大净收益是多少元？
同 步 练 习
二次函数应用题建模流程
1. 审情境：找目标量与约束
2. 设变量：写含义、单位和范围
3. 列函数：把目标量表示成二次函数
4. 求最值：配方/顶点并与定义域对照
5. 作解释：还原实际量、单位并检验限制
变量与单位检查表
定义域与最值对照
易错对比：先看顶点，还是先看范围
★ 基础巩固
1. 1. 用30米篱笆围成一边靠河的矩形菜地，靠河一边不围。怎样确定宽和长，才能使面积最大？
2. 2. 两个正数的和为26，怎样取这两个数，才能使它们的积最大？
3. 3. 一个矩形运动区的周长为48米。长、宽各是多少米时面积最大？
4. 4. 用18米细木条制作一个“田”字形矩形展板边框，中间各有一条横档和竖档，木条宽度不计。展板宽、高各是多少米时面积最大？
5. 5. 某文具成本8元/件，售价15元时每天售300件。售价每提高1元，销量减少20件。提高多少元时日利润最大？
6. 6. 某商品成本20元/件，原售价50元时每天售100件。每降价1元，销量增加4件。降价多少元时日利润最大？
7. 7. 一枚模型火箭发射后t秒的离地高度为h=-4t²+16t+2（米）。求达到最高点的时刻和最大高度，并写出实际时间范围。
8. 8. 足球踢出后，离踢球点水平距离x米处的高度为y=-0.5x²+3x+1（米）。求最高点及这段模型的实际水平范围。
★★ 能力提升
9. 9. 某抛物线形门洞跨度10米、拱高5米。以地面中点为原点、地面为x轴，求门洞曲线，并求距中线3米处的高度。
10. 10. 一座小拱桥在坐标系中的两端为(0,0)、(8,0)，最高点为(4,6)，单位均为米。求拱形表达式和距左端2米处的净高。
11. 11. 某产品成本10元/件，售价20元时每天售300件；售价每提高1元，销量减少10件。规定售价只能在20元到24元之间，定价多少时利润最大？
12. 12. 用30米篱笆围一边靠墙的矩形花圃，因通道要求，垂直墙面的宽只能在6米到8米之间。宽取多少时面积最大？
13. 13. 某车间日产量为x百件时，日利润y千元满足y=-x²+8x+5。设备规定5≤x≤7，日产量取多少时利润最大？
14. 14. 某纪念品成本5元/件，售价10元时日售200件；售价每提高1元，销量减少20件。售价必须为整数元，怎样定价利润最大？
15. 15. 一只球从离地1米处抛出，t秒时高度h=-5t²+15t+1（米）。求最高时刻、最大高度和实际时间范围。
16. 16. 某隧道截面满足y=-0.25x²+4（米），-4≤x≤4，x表示距中线的水平距离。一辆宽4米、车顶水平且居中行驶的车辆，车高最多可为多少米？
★★★ 拓展延伸
17. 17. 用60米栏杆围成长方形训练场，并在内部设置两条与宽平行、贯穿全宽的隔栏。设宽为x米，场地规定4≤x≤10。求面积最大的设计。
18. 18. 某演出纪念册售价为x元/本，销量为(600-20x)本，制作成本12元/本，另有固定场地费400元。15≤x≤24时，定价多少元净利润最大？
19. 19. 喷泉水柱轨迹为y=-0.2(x-5)²+5（米），0≤x≤10。求最高点；再求水柱高度不低于3米时所覆盖的水平宽度。
20. 20. 无人机起飞后t秒的高度为h=-5t²+30t+2（米）。(1)求全程最大高度和实际飞行时间范围；(2)若只观察前2秒，求该时段最大高度。
情境
自变量
因变量
常见实际范围
围栏面积
边长x（米）
面积S（平方米）
两边长均大于0
利润定价
涨/降价x（元）
利润P（元）
销量非负且满足限价
拱桥/轨迹
水平距离x（米）
高度y（米）
只取实际跨度
运动高度
时间t（秒）
高度h（米）
从开始到落地
函数与范围
顶点横坐标
是否在范围内
实际最值位置
S=-2(x-10)²+200，0