初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）30.3 正多边形与圆练习题

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一、选择题
1．正十边形的中心角度数为（ ）
A．B．C．D．
2．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）
A．B．C．D．1
3．一个半径为的圆内接正六边形的面积等于（ ）
A．B．C．D．
4．每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心O旋转至和原图形重合，至少需要旋转（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是正方形的外接圆，若的半径为2，则正方形的边长为（ ）
A．1B．2C．D．4
6．苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现苯分子中的个碳原子与个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图），组成了一个完美的六边形（正六边形），图是其平面示意图，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（ ）
A．12B．15C．18D．24
8．已知：如图，四边形是的内接正方形，点P是上不同于点B、C的任意一点，则的度数是（ ）
A．或B．或C．或D．
二、填空题
9．如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为______．
10．如图，正六边形内接于，它的内切圆半径为，则正六边形的边长为__________．
11．如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则______．
12．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是2，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可得的估计值是______．
三、解答题
13．窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且．
(1)猜想的形状，并说明理由．
(2)求图中阴影部分的面积．（结果保留）
14．历史上，对于圆周率的研究是古代数学一个经久不衰的话题，如我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，可见正多边形与圆联系非常紧密！
(1)如图，请在中，作一个圆内接正六边形．（要求：尺规作图，不写作法，没有作图痕迹不给分）
(2)若正六边形边长为，求该正六边形的边心距．
15．新素材正六边形蜂窝状置物架如图（1）是某阅览室墙上安装的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽象成如图（2）所示的图形，点A，B，C，D，E，F均为正六边形的顶点，点O为的中点，每个正六边形的边长均为．
(1)连接，求的长；
(2)求该置物架所占用墙面的宽度 d．
16．如图，是边长为的正方形的外接圆．
(1)求的半径；
(2)求图中阴影部分的扇形面积．
17．大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K．
(1)求证：是小圆O的切线．
(2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示）
18．如图，是内接正多边形的一条边，且．

(1)求该正多边形的边数；
(2)若的半径为2，求阴影部分的面积．
参考答案
1．A
2．A
3．B
4．D
5．C
6．B
7．B
8．A
9．10
10．
11．12
12．3
13．(1)解：为等边三角形．
理由：六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，
．
．
是等边三角形．
（2）解：如图，过点作，垂足为．
∵点是的内心，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
14．【详解】（1）解：如图，六边形即为所求；
证明：由作图可得，
∴，，
∴，
∴六边形是圆内接正六边形；
（2）解：连接，，过点作于点．
∵六边形是圆内接正六边形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即正六边形的边心距为．
15．【详解】（1）解：如图（1），连接并延长交的延长线于点 G，作于点R．
，
，
，
，
，
∴，
∴ ，
∵，
∴．
过点C作，垂足为H，
则，
∵
∴四边形为矩形，
，
∴，
；
（2）如图（2），由题意得：共线，连接，
过点Q作，垂足为N，
则 ，
在中， ，
，
设左上角正六边形中心为点O，其左上角的顶点为W，连接，
则，
是等边三角形，
，
，
答：该置物架所占用墙面的宽度 d为．
16．【详解】（1）解：∵正方形，
∴，
又∵，
∴在中，，
∴，即，
∴（负值舍去）；
（2）解：由（）得：，，
∴．
17．【详解】（1）证明：如图所示，连接，设交于H，
∵正六边形为大圆O的内接正六边形，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∵小圆O与相切于点K，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点H在小圆O上，
又∵，
∴是小圆O的切线；
（2）解：∵正六边形为大圆O的内接正六边形，
∴，
∴是等边三角形，
∵小圆O与相切于点K，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．【详解】（1）解：连接，

，
，
，
此正多边形中心角为，
该正多边形的边数为；
（2）