30.3正多边形与圆暑假预习练 人教版数学九年级上册

这是一份30.3正多边形与圆暑假预习练 人教版数学九年级上册，共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，多边形ABCDE为圆内接正五边形，PA与圆相切于点A，的大小为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，的半径为，是的内接等边三角形，点在上．四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（ ）
A．4B．4C．2D．2
3．如图，将正方形和正五边形的中心重合，按如图位置放置，连接、，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点是正六边形的中心，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，正六边形内接于圆O，圆O的半径为6，则这个正六边形的边心距和的长分别为（ ）
A．3、B．、C．、D．、
7．已知有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，则此地基的周长为（ ）
A．12mB．C．24mD．
8．如图，正三角形PMN的顶点分别是正六边形ABCDEF三边的中点，则三角形PMN与六边形ABCDEF的面积之比（ ）
A．1：2B．1：3C．2：3D．3：8
9．正六边形的周长为6，则它的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．以同一个圆的内接正三角形、正四边形、正边形的边心距为三边作三角形，若这个三角形是直角三角形，正边形的边心距为直角三角形的斜边，那么的值可能是（ ）
A．4B．5C．6D．12
11．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（ ）
A．B．C．D．
12．正六边形内接于，若的半径是2，则正六边形的周长是（ ）
A．14B．12C．10D．8
二、填空题
13．如图是第四套人民币一角硬币，圆面直径为，硬币边缘镌刻正多边形，A，B为该正多边形相邻的两个顶点，则的长是______．

14．如图，有一个亭子，它的地基是边长为的正六边形，则这个正六边形地基的面积是_________（计算结果保留根号）．
15．半径为3的正六边形内接于，则正六边形的边长为 _____．
16．古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为______．

17．团扇是中国汉族传统的工艺品及艺术品，起源于商代，其雏形可追溯至战国时期的“便面”．团扇融合了绘画、书法、雕刻等艺术形式，象征团圆吉祥，承载中华传统审美与文化内涵．如图1是一款名为“蝶戏芳丛”的刺绣团扇扇面，其外轮廓为如图2所示的正八边形，已知该正八边形的中心为点，则的度数为___________．
三、解答题
18．如图，为正五边形的外接圆，已知，请用无刻度直尺完成下列作图，保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中的边上求作点，使；
(2)在图2中的边上求作点，使．
19．如图，已知正六边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1的正六边形内部作一点，连接，使得．
(2)在图2的正六边形内部作一点，连接，使得．
20．如图，已知正八边形是半径为的内接八边形，求阴影部分图形的面积．
21．如图，正方形内接于，M为上的一点，连接．
(1)若，求证：M为的中点．
(2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径．
22．如图，正六边形内接于．
(1)若P是上的动点，连接，，求的度数；
(2)已知的面积为，求的面积．
《30.3正多边形与圆》参考答案
1．B
【分析】连接OA，，先求出，再求出，根据切线的性质，即可求解，
本题考查了，正多边形与圆，切线的性质，解题的关键是：添加辅助线求出的度数．
【详解】解：如图，连接OA，，
∵多边形ABCDE为圆内接正五边形，
∴，
∵，
∴，
∵PA为圆O的切线，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
2．A
【分析】连接、，根据平行四边形的性质得，再根据圆周角定理得为的直径，利用圆周角定理得到，根据含的直角三角形三边的关系得到，然后根据矩形的面积公式求解．
【详解】解：连接、，如图，
四边形为平行四边形，
，
，
，
为的直径，
，
为等边三角形，
，
，
而，
，
在中，，，
矩形的面积．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
3．A
【分析】分别求出以点为中心的正五边形和正方形的中心角即可．
【详解】解：如图，连接，
点是正五边形和正方形的中心，
，，


．
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的前提．
4．B
【分析】本题考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题关键．根据正六边形的性质可得，，从而求出．
【详解】解：连接，
点为正六边形的中心，
，
故选：B
5．C
【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解．
【详解】解：如图，连接，，
，
，
是的内接正边形的一边，
．
故选：C．
6．D
【分析】此题考查了圆和正多边形的相关计算、解直角三角形、弧长公式等知识．连接，由正是圆的内接多边形得到，，进一步得到，，则．
【详解】解：连接，
∵正是圆的内接多边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
7．C
【分析】连接，则，得是等边三角形，求得的长度，即可得答案．
【详解】解：如下图，连接，则，
正六边形的边长为4m，
，
是等边三角形，
，
地基的周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形，解题的关键是证明是等边三角形，通过正多边形的半径求得正六边形的边长．
8．D
【分析】连接BE，设正六边形的边长为a，首先证明△PMN是等边三角形，分别求出△PMN，正六边形ABCDEF的面积即可．
【详解】解：连接BE，设正六边形的边长为a．则AF＝a，BE＝2a，AF∥BE，
∵AP＝PB，FN＝NE，
∴PN＝（AF+BE）＝1.5a，
同理可得PM＝MN＝1.5a，
∴PN＝PM＝MN，
∴△PMN是等边三角形，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
9．B
【分析】本题考查了正多边形的性质，涉及了勾股定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．
先求出，再求出的面积为，进而即可求解正六边形面积．
【详解】解：如图，设正六边形的一边为，外接圆的圆心为O，作，垂足为C，
∵正六边形的周长为6，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，
∴正六边形的面积为，
故选：B．
10．C
【分析】设是的直径，，四边形是的内接正三角形，正四边形，交于点，可证明，设，则，连接，作于点，求得，则，设正边形的边心距为，则， 如图，令正边形的一条边为，过点作，则，求得，则，可知为等边三角形，则，即可求解．
【详解】解：如图，是的直径，，四边形是的内接正三角形，正四边形，交于点，
，
，
，
∴是正三角形的边心距，，
，
，
设，则，
连接，作于点，
，
，
，
设正边形的边心距为，
∵以的内接正三角形，正四边形，正边形的边心距为三边作三角形得到直角三角形，
，
如图，令正边形的一条边为，过点作，则，
则，
∴，
∴为等边三角形，则，
，
故选：C．
【点睛】此题重点考查正多边形和圆，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，正六边形的性质，勾股定理等知识，设圆的内角正三角形的边心距为，推导出该圆的内接正边形的边心距为是解题的关键．
11．C
【分析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角，掌握知识点的应用是解题的关键．根据正八边形的中心角为，则旋转角至少为，从而求解．
【详解】解：由题意得，正八边形的中心角为，
∴八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为，
故选：．
12．B
【分析】本题考查正多边形外接圆、正多边形的性质，熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．连接、，根据题意证得是等边三角形，即可解答．
【详解】解：连接、
多边形是正六边形，
，的半径是2
是等边三角形，
正六边形的周长是
故选B．
13．
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，扇形的弧长公式，熟练掌握正多边形的性质，扇形弧长公式是解答本题的关键．
根据正多边形的性质确定出中心角，再利用弧长公式计算即可．
【详解】解：正九边形的一个中心角的度数为，
圆面直径为，
圆面半径为，
的长是，
故答案为：，
14．
【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成个全等的等边三角形，求出其中一个等边三角形的面积，再乘以即可得到正六边形的面积．
【详解】解：如图，设正六边形的中心为，
连接、，
过点作于点
多边形是正六边形
，
是等边三角形

在中，由勾股定理得：
正六边形的面积为： ．
15．3
【分析】本题考查正多边形和圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．六边形是的内接正六边形，证明是等边三角形即可解决问题．
【详解】解：解：如图，是的内接正六边形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为．
16．
【分析】本题考查了正多边形和圆的关系，根据正多边形和圆的关系可得：正九边形的中心角为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：根据正多边形和圆的关系可得：正九边形的中心角为，
故答案为：．
17．
【分析】根据正多边形的中心角定义进行解答即可．
【详解】解：由正八边形的性质，可得．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM与DE的交点即为所求作；
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN并延长即可．
【详解】（1）连接AO并延长 与CD相交，连接EF交AO延长线于M，连接BM交DE于点G，则点G为所求作，如图1所示；
理由：
∵⊙O为正五边形的外接圆，
∴直线AO是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B与点E、点C与点D分别是一对对称点．
∵点M在直线AO上，
∴射线BM与射线EF关于直线AO对称，从而点F与点G关于直线AO对称，
∴CF与DG关于直线AO对称．
∴DG=CF．
（2）在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；

【点睛】本题考查了作图：无刻度直尺作图，考查了正五边形的对称性质，掌握正五边形的性质是解题的关键．
19．(1)
点M为所求作；
(2)
点N即为所求作：
【分析】本题考查正六边形的性质、锐角三角函数等知识，掌握正六边形的性质是解答的关键．
（1）连接、，设交点为M，根据正六边形的性质可得，利用可得点M即为所求；
（2）连接，，设交点为N，可得，，，则，由可得结论．
【详解】（1）略
（2）略
20．．
【分析】本题考查了正多边形和圆，扇形的面积．作，求得，利用扇形的面积公式以及三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图，连接，作，垂足为，
由题意得，则，
∵，
∴，
∴，，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查正方形的性质、正多边形与圆等知识，推导出是解题的关键．
（1）由正方形得，可得，由得，由得，从而可得结论；
（2）由正方形的面积为4得正方形的边长为2，连接得是等腰直角三角形，可求出．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴M为的中点
（2）解：∵正方形的面积为4，
∴正方形的边长为2，
连接，
∴是等腰直角三角形，
∴，即圆的半径为．
22．(1)
(2)
【分析】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系．
（）在取一点，连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值；
（）证明是等边三角形，利用三角函数求出，，再根据的面积为求出圆的半径，即可求出面积．
【详解】（1）如图所示，在取一点，连接 ，
∵六边形是正六边形，
∴ ，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴是等边三角形，
∴；
∴，，
∴，
∴，
即的半径为．
面积为：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
B
C
D
C
D
B
C
题号
11
12








答案
C
B