初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）23.2 解直角三角形及其应用备课ppt课件

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）23.2 解直角三角形及其应用备课ppt课件，共13页。PPT课件主要包含了北偏东30°，南偏西45°，设CDx，≈80×091，∵AD＋BD＝AB，∴AC＋BC＝，5海里等内容，欢迎下载使用。
如图，一艘轮船从 A 点出发，航行路线为 AC、CB，你知道如何准确描述此过程轮船航行的方向吗？
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角. 如图所示：
引例 如图，一船以 20 n mile/h 的中速度向东航行，在A 处测得灯塔 C 在北偏东 60° 方向上，继续航行 1 h 到达 B 处，再测得灯塔 C 在北偏东 30° 方向上.已知灯塔C 四周 10 n mile 内有暗礁，问这船继续向东航行，是否安全？
【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 10 n mile.
解：由点 C 作 CD⊥AB，
则在 Rt△ACD 中，
在 Rt△BCD 中，
解得 .
所以，这船继续向东航行是安全的.
由 AB = AD - CD，得
例1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC = PA·cs(90°－65°)
在 Rt△BPC 中，∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔P大约 129.70 n mile．
如图所示，A、B两城市相距 200 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 (即线段 AB)，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30° 和 B 城市的北偏西 45° 的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心，100 km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据： ≈1.732， ≈1.414)．
解：过点 P 作 PC⊥AB，C 是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200，即 PC＋PC＝200.解得 PC ≈ 126.8 km＞100 km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．
例2 一条东西走向的高速公路上有两个加油站 A，B，在 A 的北偏东 45° 方向还有一个加油站 C，C 到高速公路的最短距离是 30 km，B，C 间的距离是 60 km，想要经过 C 修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口 P 到 B，C 的距离相等，请求出交叉口 P 到加油站 A 的距离 (结果保留根号)．
分析：此题针对点 P 的位置分两种情况讨
论，即点 P 可能在线段 AB 上，也可能在 BA 的延长线上．
解：分两种情况：(1)如图①，在 Rt△BDC 中，CD＝30 km，BC＝60 km，∴∠B＝30°.∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°.∴在 Rt△CDP 中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°.
在 Rt△ADC 中，∵∠A＝45°，∴AD＝DC＝30 km.
(2)如图②，同理可求得 km， AD＝30 km.
求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
例3 如图，一架飞机从 A 地飞往 B 地，两地相距 600 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成 30° 角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成 45° 角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程 600 km 远了多少？
解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
∴在 Rt△BCD 中，
在 Rt△ACD 中，
747－600＝147 (km)．答：飞机的飞行路程比原来的路程 600 km 远了 147 km.
1. 如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60° 方向上，航行半小时后到达 B 处，此时观测到灯塔 M 在北偏东 30° 方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是 ( )
A. 10 分钟 B. 15 分钟 C. 20 分钟 D. 25 分钟
2. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40° 方向，则从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB等于 ．
3. 如图，海上 B、C 两岛分别位于 A 岛的正东和正北方向，一艘船从 A 岛出发，以 18 海里/时的速度向正北方向航行 2 小时到达 C 岛，此时测得 B 岛在 C 岛的南偏东 43° 方向，则 A、B 两岛之间的距离为 ． (结果精确到 0.1 海里，参考数据：sin 43° = 0.68，cs 43° = 0.73，tan 43° = 0.93)
4. 如图有一个古镇建筑 A，它周围 800 米内有古建筑，乡村路要由西向东修筑，在 B 点处测得古建筑 A 在北偏东 60° 方向上，向前直行 1200 米到达 D 点，这时测得古建筑 A 在点北偏东 30° 方向上，如果不改变修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？
5. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线 l (如图).救生员甲在 A 处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的 B 处有人发出求救信号．他立即沿 AB 方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从 C 处入海，径直向 B 处游去．甲在乙入海 10 秒后赶到海岸线上的 D 处，再向 B 处游去．若 CD＝40 米，B 在C 的北偏东 35° 方向，甲、乙的游泳速度都是 2 米/秒，则谁先到达 B 处？请说明理由.
分析： 在 Rt△CDB 中，利用三角函数即可求得 BC，BD 的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．
(参考数据：sin55° ≈ 0.82，cs55° ≈ 0.57，tan55° ≈ 1.43).
解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.∵tan∠BCD＝ ，∴BD＝CD·tan∠BCD＝40×tan55° ≈ 57.2 (米)．∵cs∠BCD＝ ，∴BC＝ ＝ ≈ 70.2 (米)．∴t甲≈ ＋10＝38.6 (秒)，t乙≈ ＝35.1 (秒)．∴t甲＞ t乙．答：乙先到达 B 处．