初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）23.2 解直角三角形及其应用背景图课件ppt

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）23.2 解直角三角形及其应用背景图课件ppt，共13页。PPT课件主要包含了ihl，水平面，练一练，i12，探究归纳，方法归纳，P1x1y1，P2x2y2等内容，欢迎下载使用。
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i = 1 : 6.
如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平长度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h : l .
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角 α =___度.2. 斜坡的坡角是 45° ，则坡比是 _____.3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_______.
例1 如图，一山坡的坡度为 i = 1 : 2.小刚从山脚 A 出发，沿山坡向上走了 240 m 到达点 C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到 0.01°，长度精确到 0.1 m）？
在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，∠A = 26.57°，AC = 240 m，
因此 α ≈ 26.57°.
答：这座山坡的坡角约为 26.57°，小刚上升了约 107.3 m．
从而 BC = 240×sin 26.57° ≈ 107.3（m）．
例2 铁路路基的横断面是四边形 ABCD，AD∥BC，路基宽 BC = 9.8 m，高 BE = 5.8 m，斜坡 AB 的坡度 i1 = 1 : 1.6，斜坡 CD 的坡度 i2 = 1 : 2.5，求：底宽 AD 和斜坡的坡角 α 和 β (精确到 1°)的值；
i1 = 1 : 1.6
解： 过 C 作 CF⊥AD于点 F，得 CF = BE，EF = BC，∠A = α，∠D = β.
∴AE = 1.6×5.8 = 9.28 (m)，DF = 2.5×5.8 = 14.5 (m).∴AD = AE + EF + DF = 9.28 + 9.8 + 14.5 ≈ 33.6 (m).
答：铁路路基下底宽为 33.6 m，斜坡的坡角分别为 32° 和 21°.
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的 B 点出发时，测得坡面 AB 的坡度为 1 : 2，走 　　米到达山顶 A 处．这时，他发现山的另一坡面 AC 的最低点 C 的俯角是 30°．请求出点 B 和点 C 的水平距离．
与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长 l1，测出相应的仰角 α1，这样就可以算出这段山坡的高度 h1 = l1 sin α1.
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度 h1，h2，…，hn，然后我们再“积零为整”，把 h1，h2，…，hn 相加，于是得到山高 h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识.例如，当我们要测量如图 1 所示大坝的高度 h 时，只要测出仰角 α 和大坝的坡面长度 l，就能算出 h = l sin α，但是，当我们要测量如图 2 所示的山高 h 时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角 α 和山坡长度 l.
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
例3 已知：在直线 y = kx + b 上有任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2),这条直线向上方向与 x 轴正方向所夹的锐角为 α.
证明：由 α 是锐角，可知直线 y = kx + b 是上升的，即函数 y = kx + b 的值随 x 值的增大而增大.
如图，x1＜x2，则 y1＜y2.过点 P1、P2作 x 轴的垂线，垂足分别为 Q1、Q2，再过点 P1 作 x 轴的平行线 P1R 交 P2Q2 于点 R，得∠P2P1R = α.
在 Rt△P2P1R 中，
∵P1，P2 都在直线 y = kx + b 上，
2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离 AB＝6 m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为 55°，由此，点 A 需向右平移至点 D，请你计算 AD 的长 (精确到 0.1 m)．
解：作DE⊥AB，CF⊥AB， 垂足分别为E、F． 由题意可知　 DE＝CF＝4 (米)， CD＝EF＝12 (米)．
3. 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基的坡面与地面的倾角分别是 45° 和30°，求路基下底的宽 (精确到 0.1 米， ， ).
在 Rt△ADE 中，
在 Rt△BCF 中，同理可得因此 AB＝AE＋EF＋BF ≈ 4＋12＋6.93 ≈ 22.93 (米)．答： 路基下底的宽约为 22.93 米．