冀教版（2024）九年级上册（2024）26.4 解直角三角形的应用优秀第4课时达标测试

这是一份冀教版（2024）九年级上册（2024）26.4 解直角三角形的应用优秀第4课时达标测试，文件包含冀教版九年级数学上册_第二十六章_第4课时_解直角三角形的应用_讲义与练习_教师版docx、冀教版九年级数学上册_第二十六章_第4课时_解直角三角形的应用_讲义与练习_学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
怎样把一个带角度条件的实际问题，转化为解直角三角形的问题？
一、学习目标
1. 认识仰角、俯角、方位角以及坡度（坡比）、坡角的概念，能说出它们的含义
2. 能把测高、航行、坡体等实际问题转化为解直角三角形的问题，选择恰当的三角函数求解
3. 会通过作高把梯形等图形分割成直角三角形，并能对多条件问题设未知数列方程求解
二、重点
• 把实际问题抽象为直角三角形，用锐角三角函数建立边角关系
• 仰角、俯角、坡度（坡比）与坡角的定义及应用
三、难点
• 双直角三角形模型中公共边（垂距）的确定与方程的建立
学习支架
坡面、坡度与坡角示意图
解直角三角形应用题的一般步骤
1. 读题画图，标出已知角与已知长度
2. 构造直角三角形（作高、作垂线）
3. 确定所用三角函数，列式
4. 解方程或直接计算
5. 按精确度要求作答并检验
坡度与坡角的关系
仰角与俯角
四、知识要点
1. 仰角与俯角
仰角与俯角都是“视线”与“水平视线”所成的角：视线在水平视线上方时，视线与水平视线所成的角叫仰角（如抬头看楼顶、旗杆顶端）；视线在水平视线下方时，所成的角叫俯角（如低头看楼底、地面目标）。关键结论：仰角、俯角都以水平视线为一边，只由视线相对水平线的上下位置决定，与图形中角的位置无关；仰角、俯角都是 0°～90° 之间的锐角。易错提示：先找水平线（水平视线），再看视线在它的哪一侧，不要凭“图中哪个角在上”来判断。
2. 用仰角、俯角测量高度与距离
测量不可直接到达的高度或距离时，把实际问题转化为解直角三角形：被测物体与地面垂直，观测点到物体的水平距离、观测视线、物体的高共同构成直角三角形。关键结论：过观测点作水平视线，与物体（或其所在竖直线）交于一点，就把问题分成“水平视线以上”“水平视线以下”两个直角三角形；已知水平距离和仰角、俯角时，分别用正切（tan = 对边/邻边）求出两段，再相加得到总高度。例如教材“做一做”：在距旗杆 4.5 m 的点 D 处，仰角 50°、俯角 18°，旗杆高 = 4.5×tan50° + 4.5×tan18°。易错提示：只在最后一步按题目要求取近似值，中间过程保留根号或更精确的值，避免误差累积。
3. 方位角与航行问题
方位角以正北（或正南）方向为基准、向正东（或正西）方向偏转的角度，如“北偏东 60°”表示目标方向在正北方向向东偏 60°，即与正东方向成 30°。关键结论：航行问题中先画出航线（东西或南北方向），再过目标点（小岛、灯塔）作航线的垂线，得到两个共用一条垂线段（垂距）的直角三角形；设公共垂线段为 x，用两个正切关系分别表示两段水平距离，再由“两段之差等于航程”列方程求解。判断是否进入危险区：只比较目标点到航线的垂直距离与危险区半径的大小——垂直距离小于半径，就会进入危险区。教材例1中，渔船 40 min 航程 20 海里，两处测得小岛分别在北偏东 60°、30° 方向，算得垂距为 103 ≈ 17.3 海里，大于危险半径 10 海里，所以不会进入危险区。
4. 坡度（坡比）与坡角
在筑坝、开渠、挖河、修路时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度：坡面的垂直高度 h 与水平宽度 l 的比叫作坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角 α 叫作坡角。关键结论：坡度 i = ℎl = tan α。坡度越大，坡角越大，坡面越陡。坡比 1:2 表示垂直高度与水平宽度之比为 1:2，它是一个比值，不是角度。易错提示：坡度是比值不是角度；求水平宽度或垂直高度时，按“垂直高度:水平宽度”写出坡比再计算，不要写反。
5. 梯形横断面问题与方程思想
铁路路基、河堤、水坝的横断面常是梯形（两底平行），求下底宽、坡角或面积时，过两腰与底的交点作底的高，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形。关键结论：梯形作高后，下底 = 上底 + 两个直角三角形水平直角边之和；每个直角三角形的水平边可用坡比或坡角求得。若两腰条件对称（如 ∠A = ∠D），两个直角三角形全等，计算量减半。当一个图形中有两个直角三角形共用一条边时，设公共边为 x，用两个三角函数关系分别表示相关线段，再利用已知的差（或和）列方程求解——这就是“方程思想”在解直角三角形中的应用。
五、典型例题
【例1】
如图（仰角与俯角示意图），小华在距教学楼 24 m 的点 D 处，仰视教学楼顶端 A，仰角为 45°；俯视教学楼底部 B，俯角为 30°。求教学楼的高度 AB。（结果精确到 0.1 m）
仰角与俯角示意图
【解答】设小华的眼睛在点 O 处，过 O 作水平视线，与教学楼所在的竖直线交于点 C，则 OC = 24 m。在 Rt△AOC 中，∠AOC = 45°，AC = OC×tan45° = 24×1 = 24（m）。在 Rt△BOC 中，∠BOC = 30°，BC = OC×tan30° = 24×(33) = 83 ≈ 13.9（m）。AB = AC + BC = 24 + 83 ≈ 24 + 13.9 = 37.9（m）。答：教学楼的高度约为 37.9 m。
【点拨】先画水平视线，把楼高分成上下两段：水平视线以上的部分用仰角求，以下的部分用俯角求，最后相加。关键是分清哪个角在哪个直角三角形中，已知水平距离求对边时用正切。
【例2】
如图（方位角与双直角三角形示意图），一艘渔船以 36 海里/时的速度由西向东航行。在 A 处看见灯塔 P 在船的北偏东 60° 方向上；30 min 后渔船行驶到 B 处，此时灯塔 P 在船的北偏东 30° 方向上。已知以灯塔 P 为中心、20 海里为半径的范围内是暗礁危险区。如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？
方位角与双直角三角形示意图
【解答】过点 P 作 PD⊥AB，交 AB 的延长线于点 D，则 ∠PBD = 60°，∠PAD = 30°。AB = 36×(3060) = 18（海里）。设 PD = x 海里。在 Rt△PBD 中，tan60° = PDBD，所以 BD = x3（海里）。在 Rt△PAD 中，tan30° = PDAD，所以 AD = 3x（海里）。因为 AD − BD = AB，所以 3x − x3 = 18，解得 x = 93 ≈ 15.6（海里）。因为 15.6 < 20，即灯塔到航线的垂直距离小于危险区半径，所以这艘渔船继续向东航行，会进入危险区。答：这艘渔船继续向东航行会进入危险区。
【点拨】判断是否进入危险区，只需比较“目标点到航线的垂直距离”与“危险区半径”。双直角三角形问题先设公共垂距为 x，用两个正切分别表示两段水平距离，再列“长段减短段等于航程”的方程；写差式前先想清楚哪一段更长。
【例3】
如图（梯形横断面作高示意图），一段河堤的横断面是梯形 ABCD，其中 AD//BC，上底 AD = 4 m，坝高 6 m，背水坡 AB 的坡比为 1:1.5，迎水坡 CD 的坡角为 30°。求这段河堤横断面的面积。（结果精确到 0.1 m²）
梯形横断面作高示意图
【解答】作 AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为 E、F，则 AE = DF = 6 m，四边形 AEFD 是矩形，EF = AD = 4 m。背水坡 AB 的坡比为 1:1.5，即 AEBE = 11.5，BE = 6×1.5 = 9（m）。迎水坡 CD 的坡角为 30°，在 Rt△DFC 中，FC = DFtan30° = 63 ≈ 10.4（m）。BC = BE + EF + FC = 9 + 4 + 63 ≈ 23.4（m）。S = (AD + BC)×AE2 = (4 + 13 + 63)×62 = 3(17 + 63) ≈ 82.2（m²）。答：这段河堤横断面的面积约为 82.2 m²。
【点拨】梯形横断面问题先作高，把它分成矩形和两个直角三角形；分清各水平段与底的关系：下底 = 上底 + 左右两段水平距离。哪一腰用坡比、哪一腰用坡角，按题给条件逐一处理，最后用梯形面积公式。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 视线与水平视线所成的角中，视线在水平视线上方的角叫作（________），视线在水平视线下方的角叫作（________）。
2. 坡面的（________）高度与（________）宽度的比叫作坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角叫作（________）。若坡角为 α，则坡度 i =（________）。
3. 一段坡面的铅直高度为 5 m，坡比为 1:2，求这段坡面的水平宽度。
4. 小明在距一座楼 20 m 的水平地面上测得楼顶的仰角为 45°，则这座楼的高度为（________）m。
5. 俯角是视线与水平视线所成的角中，视线在水平视线上方的角。（________）（ ）
6. 斜坡的坡度越大，坡角越大。（________）（ ）
7. 一辆汽车沿坡角为 30° 的斜坡向上行驶 100 m，上升的高度为（________）m。
8. 在水平地面上，点 A 距某建筑物底部 15 m，测得建筑物顶端的仰角为 60°，求这座建筑物的高度。（结果精确到 0.1 m）
9. 若点 P 在点 O 的北偏东 30° 方向上，则点 O 在点 P 的南偏西 30° 方向上。（________）（ ）
10. 一段坡面的坡比为 1:3，则坡角 α =（________）°。
★★ 能力提升
11. 下列说法正确的是（________）。
A. 视线与水平线所成的角中，位于图形上方的角就是仰角
B. 从飞机上俯视地面目标所成的角是仰角
C. 视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角
D. 坡度就是坡角
12. 某飞机在空中 A 处时的高度为 1000 m，此时从飞机上看地面目标 B 的俯角为 30°，求飞机与目标 B 之间的直线距离 AB。（结果精确到 1 m）
13. 在山坡上植树，相邻两树间的坡面距离为 6 m，斜坡的坡角为 30°，求相邻两树间的株距（水平距离）。（结果精确到 0.1 m）
14. 某建筑物 BC 垂直于地面。在点 A 处测得楼顶 B 的仰角为 45°，向楼走近 12 m 到达点 D 后，再测得楼顶 B 的仰角为 60°。求建筑物 BC 的高度。（结果精确到 0.1 m）
15. 一艘船以 15 海里/时的速度由西向东航行。在 A 处测得灯塔 P 在船的北偏东 60° 方向，航行 1 小时后到达 B 处，测得灯塔 P 在船的北偏东 30° 方向。已知以灯塔 P 为中心、18 海里为半径的范围内有暗礁。如果船继续向东航行，有没有触礁的危险？
16. 在方格纸上画出坡面示意图：先画一条水平线表示地面，再从坡脚画一条坡面线，在图中标出坡角 α、坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l。已知坡角为 30°、水平宽度为 6 m，求铅直高度 h。（结果精确到 0.1 m）
坡面示意图作图引导（学生补画坡面线与标注）
★★★ 拓展延伸
17. 测量人员在山脚 A 处观测山顶 B 的仰角为 45°，他们沿倾斜角为 30° 的斜坡向上前进 800 m 到达点 D，再观测山顶 B，仰角为 60°。求山高 BC。（点 A、B、C、D 在同一平面内，结果精确到 0.1 m）
18. 某水库拦水坝的坝高为 5 m，坝长为 40 m。沿背水坡将坝顶加宽 1.5 m，坡度由原来的 1:1.5 变为 1:2。（1）求加宽部分横截面的面积；（2）完成这一工程需要多少立方米的土？
参 考 答 案
第1题：仰角；俯角
【解析】以水平视线为基准：视线向上为仰角，向下为俯角。[错因:知识]
第2题：垂直；水平；坡角；tan α
【解析】坡度 i = ℎl = tan α，其中 h 是垂直高度，l 是水平宽度。[错因:知识]
第3题：10 m
【解析】坡比 i = 铅直高度/水平宽度 = 12，所以水平宽度 = 5×2 = 10（m）。坡度是比值，不是角度。[错因:计算]
第4题：20 m
【解析】楼高 = 20×tan45° = 20×1 = 20（m）。[错因:计算]
第5题：×
【解析】视线在水平视线上方时所成的角是仰角；俯角是视线在水平视线下方时所成的角。[错因:知识]
第6题：√
【解析】坡度 i = tan α，正切值随锐角增大而增大，所以坡度越大，坡角越大，坡面越陡。[错因:理解]
第7题：50 m
【解析】sin30° = 上升高度/坡面距离，上升高度 = 100×sin30° = 100×12 = 50（m）。[错因:计算]
第8题：26.0 m
【解析】高度 h = 15×tan60° = 153 ≈ 25.98 ≈ 26.0（m）。[错因:计算]
第9题：√
【解析】两点的相对方向相反：从 P 看 O 时，北对南、东对西，偏转角度不变，所以是南偏西 30°。[错因:理解]
第10题：30°
【解析】tan α = 13，所以 α = 30°（特殊角的三角函数值）。[错因:知识]
第11题：C
【解析】A错，仰角以水平视线为基准，与角在图形中的位置无关；B错，从高处看低处所成的角是俯角；C对，符合仰角定义；D错，坡度是垂直高度与水平宽度的比，坡角是坡面与水平面的夹角。[错因:知识]
第12题：2000 m
【解析】设 C 为飞机正下方的地面点，则 AC⊥BC。俯角为 30°，即 ∠BAC = 30°，AB = ACsin30° = 1000×2 = 2000（m）。[错因:计算]
第13题：5.2 m
【解析】株距（水平距离）= 坡面距离×cs30° = 6×(32) = 33 ≈ 5.2（m）。[错因:计算]
第14题：18+63 ≈ 28.4 m
【解析】设 BC = h。在 Rt△ABC 中，∠BAC = 45°，AC = BC = h。在 Rt△BDC 中，∠BDC = 60°，DC = ℎtan60° = ℎ3。由 AC − DC = AD = 12，得 h − ℎ3 = 12，解得 h = 123(3−1) = 63(3+1) = 18+63 ≈ 28.4（m）。[错因:方法]
第15题：有触礁的危险（会进入危险区）
【解析】过 P 作 PD⊥AB 交 AB 的延长线于点 D，则 ∠PBD = 60°，∠PAD = 30°，AB = 15×1 = 15（海里）。设 PD = x，则 BD = x3，AD = 3x。由 AD − BD = AB 得 3x − x3 = 15，解得 x = 1532 ≈ 13.0（海里）。因为 13.0 < 18，灯塔到航线的垂直距离小于危险区半径，所以会进入危险区。[错因:方法]
第16题：作图要点：水平线（地面）、坡面线与水平线夹角 30°，竖直方向标 h、水平方向标 l；h = 6×tan30° = 23 ≈ 3.5 m
【解析】坡角即坡面线与水平线的夹角；已知水平宽度求垂直高度，用正切：h = l×tan α = 6×(33) = 23 ≈ 3.5（m）。[错因:方法]
第17题：BC ≈ 1092.8 m
【解析】设 BC = h。在 Rt△ABC 中，∠BAC = 45°，AC = BC = h。斜坡 AD = 800 m、坡角 30°，所以 D 相对 A 所在水平面上升 800×sin30° = 400（m），水平前进 800×cs30° = 4003（m）。过 D 作 DE⊥AC 于 E，则 DE = h − 4003，BE = h − 400。在 Rt△BDE 中，∠BDE = 60°，tan60° = BEDE = (ℎ−400)(ℎ−4003) = 3，即 3(h−4003) = h−400，解得 h = 800(3−1) = 400(3+1) ≈ 1092.8（m）。检验：h − 4003 ≈ 400 > 0，D 在 C 的左侧，图形成立。本题用方程思想（设山高为未知数，由两个仰角关系列等式）与转化化归思想（把斜坡上的测量转化为水平、铅直分量）。[错因:方法]
第18题：（1）10 m²；（2）400 m³
【解析】（1）原背水坡：坝高 5 m、坡比 1:1.5，水平段 = 5×1.5 = 7.5 m；加宽后坡比 1:2，水平段 = 5×2 = 10 m。坝底多出的水平宽度 = 10 − 7.5 = 2.5 m。加宽部分横截面是上底 1.5 m、下底 2.5 m、高 5 m 的梯形，面积 S = (1.5+2.5)×52 = 10（m²）。（2）所需土方 = 横截面积×坝长 = 10×40 = 400（m³）。检验：400 m³ 即 10 m²×40 m，量纲与计算一致。本题用转化化归思想（把坝体体积转化为横截面积与坝长的乘积，把坡比转化为水平距离）。[错因:方法]仰角
俯角
视线在水平线上方，如抬头看楼顶
视线在水平线下方，如低头看楼底