沪科版（2024）九年级上册（2024）23.2 解直角三角形及其应用第1课时教案及反思

这是一份沪科版（2024）九年级上册（2024）23.2 解直角三角形及其应用第1课时教案及反思，共17页。教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.了解并掌握解直角三角形的概念；
2.掌握解直角三角形的依据并能熟练解题.(重点、难点)
【教学过程】
一、情境导入
在直角三角形中，除了直角外，一共有五个元素，即三角形的三条边和两个锐角.
尝试探究已知哪些元素能够求出其他元素.
二、合作探究
探究点一：解直角三角形
【类型一】 已知斜边和一直角边解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2eq \r(,3)，a＝3，解这个直角三角形.
解析：已知一条斜边和一条直角边，可以先利用勾股定理求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的度数.
解：在Rt△ABC中，b＝eq \r(,c2－a2)＝eq \r(,12－9)＝eq \r(,3).
∵sinA＝eq \f(a,c)＝eq \f(3,2\r(,3))＝eq \f(\r(,3),2)，∴∠A＝60°.
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
方法总结：在解直角三角形时，可以画一个直角三角形的草图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，进而结合勾股定理、三角形内角和定理、锐角三角函数求解.
【类型二】 已知两直角边解这个直角三角形
已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝eq \r(,3)－1，b＝3－eq \r(,3)，解直角三角形.
解析：根据直角三角形中各元素之间的关系，选择合适的式子求解.
解：由tanB＝eq \f(b,a)，得tanB＝eq \f(3－\r(,3),\r(,3)－1)＝eq \r(,3).
∴∠B＝60°，则∠A＝30°.
由sinA＝eq \f(a,c)，得c＝eq \f(a,sinA)＝eq \f(\r(,3)－1,\f(1,2))＝2eq \r(,3)－2.
【类型三】 已知直角三角形一边一锐角解直角三角形
在Rt△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，∠C＝90°，∠B＝60°，a＝4，解这个三角形.
解析：如图所示，本题实际上是要求∠A、b、c的值，可根据直角三角形中各元素之间的关系解决.
解：∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°，∴c＝2a＝2×4＝8.
由tanB＝eq \f(b,a)，知b＝a·tanB＝4·tan60°＝4eq \r(,3).(或b＝eq \r(,c2－a2)＝eq \r(,82－42)＝4eq \r(,3))
方法总结：解直角三角形时，正确选择关系式是关键，选择关系式遵循以下原则：(1)尽量选可以直接应用原始数据的关系式；(2)选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算.
探究点二：解直角三角形的简单应用
【类型一】 利用直角三角形求面积
在△ABC中，∠A＝55°，b＝20cm，c＝30cm，求三角形ABC的面积S△ABC.(精确到0.1cm2)
解析：(1)求三角形面积需要作高；(2)需构造直角三角形.
解：作AB上的高CD，在Rt△ACD中，
∵CD＝AC·sinA＝b·sinA，∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CD＝eq \f(1,2)bc·sinA.
∵∠A＝55°，b＝20cm，c＝30cm，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)bc·sinA＝eq \f(1,2)×20×30·sin55°＝eq \f(1,2)×20×30×0.8192＝245.8(cm2).
方法总结：求三角形面积可先作高构造直角三角形，然后用已知量的三角函数表示出高，代入数据即可求得.
【类型二】 构造直角三角形解决问题
如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将此矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长.
解析：由题意可知A点和C点关于直线EF对称，连接AC，则AC⊥EF，且OA＝OC，于是构造了Rt△AOE，利用解直角三角形的知识求出OE即可.
解：如图，连接AC，则AC⊥EF，OA＝OC，∴∠AOE＝90°.又∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝eq \r(,AB2＋BC2)＝eq \r(,62＋82)＝10，∴OA＝5.在Rt△ADC中，tan∠DAC＝eq \f(DC,AD)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4).在Rt△AOE中，tan∠EAO＝eq \f(OE,AO)，∴OE＝AO·tan∠EAO＝AO·tan∠DAC＝5×eq \f(3,4)＝eq \f(15,4).在△AOE和△COF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠AOE＝∠COF，,OA＝OC，,∠OAE＝∠OCF，))∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∴EF＝2OE＝2×eq \f(15,4)＝eq \f(15,2).
方法总结：折叠后折痕两边的图形成轴对称，从而利用对称性构造直角三角形，并利用解直角三角形求出线段的长.
【板书设计】