初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）第23章 解直角三角形23.1 锐角的三角函数精品第1课时当堂达标检测题

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）第23章 解直角三角形23.1 锐角的三角函数精品第1课时当堂达标检测题，文件包含沪科版九年级数学上册_第二十三章_第1课时_2311锐角三角函数_讲义与练习_教师版docx、沪科版九年级数学上册_第二十三章_第1课时_2311锐角三角函数_讲义与练习_学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
面对一个锐角，怎样准确认出它的对边、邻边和斜边，并用不随三角形大小改变的边比描述这个角？
一、学习目标
1. 理解锐角固定时三角函数边比保持不变，并能用相似三角形说明理由
2. 能相对指定锐角准确辨认对边、邻边和斜边，写出sin、cs、tan
3. 能用勾股定理补边并规范求锐角三角函数值
4. 能把坡度、坐标点等情境转化为直角三角形边比
二、重点
• 锐角三角函数的三个定义
• 参照角与三边对应关系
• 固定锐角对应固定边比
三、难点
• 更换参照角后对边、邻边随之互换
• 从非标准方向或情境图中构造直角三角形
学习支架
锐角A的对边、邻边与斜边
参照角改变，边的名称随之改变
求锐角三角函数值五步法
1. 圈出题目指定的锐角
2. 找直角，确定斜边
3. 相对参照角标出对边和邻边
4. 必要时用勾股定理求缺边
5. 按定义列比、约分并回图检查
固定锐角下相似三角形的边比
四、知识要点
1. 锐角固定，边比为什么固定
比较坡面陡缓时，只看铅直高度或水平长度都可能误判。把坡面看成直角三角形的斜边，坡角α是坡面与水平面的夹角，坡度等于铅直高度h与水平长度l的比，即i=h/l=tanα。若在同一个锐角A的一边任取不同点，并向另一边作垂线，会得到大小不同但有一个锐角相等的直角三角形；它们由两角对应相等而相似，所以对应边成比例。于是A的对边/邻边、对边/斜边、邻边/斜边都只由A的大小决定，与三角形画多大无关。这里不变的是比值，不是边长。坡度越大表示相同水平距离内上升得越多，坡面越陡。
2. 三个定义从“指定锐角”出发
在Rt△ABC中，∠C=90°。以锐角A为参照，AB是斜边，BC是A的对边，AC是A的邻边。定义为：sinA=BC/AB，csA=AC/AB，tanA=BC/AC。记忆不能只靠“对斜、邻斜、对邻”六个字，必须先正确辨边。斜边的身份由直角决定，永远是直角的对边；邻边特指与参照锐角相邻的那条直角边，不包括斜边。若参照角改为B，斜边AB不变，而两条直角边的角色交换：AC变成B的对边，BC变成B的邻边。
3. 求值过程：辨边、补边、列比、约分
已知直角三角形两边时，若三角函数定义所需的第三边未知，先用勾股定理求边长。书写时说明直角位置，例如“在Rt△ABC中，∠C=90°，所以AB²=AC²+BC²”。边长取算术平方根，不能写正负两个值。随后针对指定锐角逐项列比，并把结果化为最简分数。自检有三种：sin与cs的分母应是同一斜边；锐角的sin、cs都在0与1之间；tan的分母必须是邻边而不是斜边。
4. 坐标构造与互余锐角的直接观察
若第一象限内点P(x,y)与原点O连线，过P作x轴垂线，垂足Q，则OQ=x、PQ=y、OP=√(x²+y²)。OP与x轴正方向夹角α满足sinα=PQ/OP，csα=OQ/OP，tanα=PQ/OQ。这个过程把坐标转化为直角三角形。对同一个Rt△ABC，A与B互余；因两条直角边在两个参照角下角色互换，可直接看到sinA=csB、csA=sinB，且tanA与tanB互为倒数。本课只把它作为同一图中边比互换的结果，不提前使用特殊角值或更一般的三角恒等式。
五、典型例题
【例1】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6。求∠A的三个三角函数值。
【例2】
沿用上题的Rt△ABC，求∠B的三个三角函数值，并说明它们与∠A结果的联系。
【例3】
在平面直角坐标系第一象限内，P(5,12)，连接OP。求OP与x轴正方向所夹锐角α的三个三角函数值。
同 步 练 习
求锐角三角函数值五步法
1. 圈出题目指定的锐角
2. 找直角，确定斜边
3. 相对参照角标出对边和邻边
4. 必要时用勾股定理求缺边
5. 按定义列比、约分并回图检查
★ 基础巩固
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°。以∠A为参照，sinA等于（________）。
A. AC/AB B. BC/AB
C. BC/AC D. AB/BC
2. 在同一个Rt△ABC中，∠C=90°，csB=（________）/（________）。
3. 锐角A固定时，把直角三角形放大2倍，tanA也放大2倍。（ ）
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12。求sinA、csA、tanA。
5. 某坡面铅直高度为12 m，水平长度为20 m，坡度为（________）。
6. 在直角三角形中，斜边会随所选锐角改变。（ ）
7. 锐角A的sinA和csA都小于1。（ ）
8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，则sinA=（________），csB=（________）。
★★ 能力提升
9. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5。小明写csA=BC/AB。指出错误并求csA。
10. 在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=3/4，AC=12。求BC和AB。
同一锐角A下的两个直角三角形
11. 图中两个直角三角形共有锐角A，小三角形的对边、邻边、斜边为3、4、5，大三角形对应边为6、8、10。说明为什么两图中的sinA、csA、tanA分别相等。
请在图中补作垂线并标注边长
12. 第一象限内点P(8,15)，连接OP，α为OP与x轴正方向所夹锐角。求sinα、csα、tanα。
★★★ 拓展延伸
等腰三角形作高（AB=AC=10，BC=12）
13. 在△ABC中，AB=AC=10，BC=12。作AD⊥BC于D。求∠B的三个三角函数值。
坡面甲：高20、水平100；坡面乙：高30、水平80
14. 坡面甲的铅直高度为20 m、水平长度为100 m；坡面乙的铅直高度为30 m、水平长度为80 m。比较两坡面陡缓，并说明不能只比较高度的原因。
以∠A为参照
以∠B为参照
对边BC，邻边AC，斜边AB；sinA=BC/AB，csA=AC/AB，tanA=BC/AC。
对边AC，邻边BC，斜边仍是AB；sinB=AC/AB，csB=BC/AB，tanB=AC/BC。
三角形
对边
邻边
斜边
对边/邻边
对边/斜边
邻边/斜边
较小三角形
3
4
5
3/4
3/5
4/5
放大2倍
6
8
10
6/8=3/4
6/10=3/5
8/10=4/5