初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）第21章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数优秀达标测试

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）第21章 二次函数与反比例函数21.5 反比例函数优秀达标测试，文件包含沪科版九年级数学上册_第二十一章_第5课时_反比例函数_讲义与练习_教师版docx、沪科版九年级数学上册_第二十一章_第5课时_反比例函数_讲义与练习_学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
怎样从乘积不变识别反比例函数，并用式、点、图像和实际范围解释两个量如何联动？
一、学习目标
1. 理解反比例函数y=k/x（k≠0）的定义，能由乘积不变或图上点确定函数表达式
2. 会用列表、描点、连线画反比例函数图像，并能按k的符号说明象限、对称性及每一分支内的增减性
3. 能在实际问题中建立反比例函数模型，综合数量意义写出有效自变量范围并检验结论
二、重点
• 反比例函数的定义、表达式与待定系数法
• k的符号与双曲线象限、增减性的对应关系
三、难点
• 增减性不能跨越两个分支；实际自变量范围必须由数学条件与情境条件共同确定
学习支架
y=6/x的描点表
k的符号怎样改变双曲线
增减性表述的边界
反比例函数实际建模四步
1. 找出乘积不变的两个量并设变量
2. 设y=k/x，用一组已知值求k
3. 写出代数定义域与实际有效范围
4. 代入或利用图像性质求解，并带单位检验
四、知识要点
1. 从乘积不变到反比例函数
若两个变量x、y满足xy=k，其中k为非零常数，那么y是x的反比例函数，写成y=k/x（k≠0）。这里的“反向变化”只是现象，“乘积始终等于同一个非零常数”才是判断依据。例如y=24/x是反比例函数，而y=24-x虽然也可能一个增大、另一个减小，却不满足xy恒定。求表达式常用待定系数法：设y=k/x→把已知点(x₀,y₀)代入→求k=x₀y₀→写表达式并检查k≠0。纯数学函数中x≠0；若x表示长度、时间、人数等，还要叠加x>0、整数或上下限等实际约束。
2. 双曲线的图像与性质
画y=k/x时，先在x≠0的两侧选取适当数值，列表求对应y，再描点，用平滑曲线分别连接两支。图像叫作双曲线，两支都无限接近x轴和y轴，但不与坐标轴相交。若点(x₀,y₀)在图像上，则(-x₀,-y₀)也在图像上，因此图像关于原点成中心对称。当k>0时，xy同号，图像在第一、三象限；在每一象限内，y随x增大而减小。当k0、车辆数为正整数、时间处在设备运行时段。最后还要检查所得数值是否落在有效范围内，并用原数量关系复核乘积。
五、典型例题
【例1】
例1 一台压力试验装置保持压力不变，压强p（Pa）与受力面积S（m²）成反比例。已知S=0.20时p=1500。求：（1）p关于S的函数表达式和实际自变量范围；（2）S=0.50时的压强。
【例2】
例2 利用描点表和图像比较y=6/x与y=-6/x，说明两图像的象限、增减性和对称性；并判断“在y=6/x中，只要x₁y₂”是否正确。
【例3】
例3 在同一坐标系中，直线y=x与双曲线y=4/x相交。求交点，并确定直线函数值大于反比例函数值时x的范围。
同 步 练 习
k的符号怎样改变双曲线
反比例函数实际建模四步
1. 找出乘积不变的两个量并设变量
2. 设y=k/x，用一组已知值求k
3. 写出代数定义域与实际有效范围
4. 代入或利用图像性质求解，并带单位检验
★ 基础巩固
1. 1. 若y是x的反比例函数，且当x=3时y=-4，则函数表达式为（________），自变量范围是（________）。
2. 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（________）。
A. y=5-x B. y=5/x
C. y=5/(x+1) D. y=x/5
3. 3. 点A(-2,5)在双曲线y=k/x上，则k=（________）；点A关于原点的对称点A′坐标为（________），A′（填“在”或“不在”）该双曲线上。
4. 4. 关于函数y=-7/x，下列说法正确的是（________）。
A. 图像在第一、三象限
B. 在每一象限内，y随x增大而减小
C. 图像经过点(1,-7)
D. 图像与y轴交于(0,-7)
5. 5. 在函数y=8/x中，若x₁y₂。（________）（ ）
6. 6. 已知反比例函数y=(2m-5)/x的图像位于第一、三象限，则m的取值范围是（________）。
y=-8/x作图区
7. 7. 在给出的坐标系中画出y=-8/x的图像。至少标出(-4,2)、(-2,4)、(2,-4)、(4,-2)四点，再用一句话写出它的增减性。
8. 8. 一批2400本图书计划装箱，每箱装x本，需要y箱。写出y关于x的函数表达式，并分别写出代数自变量范围与“每箱本数、箱数均为正整数且恰好装完”时的实际范围。
★★ 能力提升
9. 9. 已知双曲线y=k/x经过点P(-3,4)。（1）求函数表达式；（2）判断M(2,-6)、N(-6,2)是否在图像上；（3）写出图像所在象限及每一象限内的增减性。
双曲线与直线
10. 10. 在同一平面直角坐标系中作出y=6/x与y=x。求两函数图像的交点，并写出6/x>x时x的取值范围。
11. 11. 点P(a,b)在反比例函数y=12/x（x>0）的图像上。过P分别作x轴、y轴的垂线，与两坐标轴围成矩形。求矩形面积，并说明P移动时面积是否改变。
可行装载方案
12. 12. 某校把360箱物资平均分给若干辆同型号货车，每车运x箱，需要y辆车。（1）建立y关于x的函数模型；（2）若每车核定载量为20～45箱且必须整箱装运，写出x的实际取值范围；（3）若最多安排12辆车，每车至少应运多少箱？
13. 13. 某密闭容器内气体质量不变，密度ρ（kg/m³）与体积V（m³）成反比例。当V=6时ρ=2.4。实验装置只允许3≤V≤12。（1）求ρ关于V的表达式及有效范围；（2）要使ρ不低于1.8 kg/m³，体积应控制在什么范围？
★★★ 拓展延伸
14. 14. 已知反比例函数y=(m²-5m+6)/x。（1）当图像位于第二、四象限时，求m的取值范围；（2）当图像在每一象限内y随x增大而减小时，求m的取值范围。
有效范围内的代表性方案
15. 15. 一块长方形展板面积固定为24 m²，长为x m，宽为y m。场地要求2≤x≤8，且通道限制宽不超过4 m。（1）建立y关于x的函数模型；（2）求所有允许的x范围；（3）若围展板四周安装边框，边框总长能否不超过20 m？说明理由。
x
-6
-3
-2
-1
1
2
3
6
y
-1
-2
-3
-6
6
3
2
1
错误
正确
k>0时，x越大，y一定越小。
k>0时，在每一个象限内，y随x增大而减小；跨过x=0不能直接套用。
每车x/箱
20
24
30
36
40
45
车辆y/辆
18
15
12
10
9
8
长x/m
6
7
8
宽y/m
4
24/7
3
周长L/m
20
约20.86
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