初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）第23章 解直角三角形23.1 锐角的三角函数第2课时教案

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）第23章 解直角三角形23.1 锐角的三角函数第2课时教案，共17页。教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.理解并掌握锐角正弦、余弦的定义，并进行相关计算；(重点、难点)
2.在直角三角形中求正弦值、余弦值.(重点)
【教学过程】
一、情境导入
牛庄打算新建一个水站，在选择水泵时，必须知道水站(点A)与水面(BC)的高度(AB).斜坡与水面所成的角(∠C)可以用量角器测出来，水管的长度(AC)也能直接量得.
你能求出它的高度（AB）吗？
二、合作探究
探究点一：正弦的定义
【类型一】 求正弦值
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝5，求sinA和tanA的值.
解析：先根据勾股定理求出b的长，再根据锐角三角函数的定义求解.
解：在Rt△ABC中，c＝5，a＝3，∴b＝eq \r(,c2－a2)＝eq \r(,52－32)＝4，
∴sinA＝eq \f(a,c)＝eq \f(3,5)，tanA＝eq \f(a,b)＝eq \f(3,4).
方法总结：解决这类问题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的其他边的长，再利用锐角三角函数的定义求三角函数的值.
【类型二】 已知锐角三角形的一个三角函数值，求其他三角函数的值
已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(3,5)，则tanB的值为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(4,5) C.eq \f(5,4) D.eq \f(3,4)
解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinA＝eq \f(a,c)，tanB＝eq \f(b,a)，a2＋b2＝c2；由sinA＝eq \f(3,5)知，若设a＝3x，则c＝5x.结合a2＋b2＝c2，得b＝4x.所以tanB＝eq \f(b,a)＝eq \f(4x,3x)＝eq \f(4,3).故选A.
方法总结：解决此类问题的关键是要正确地画出草图，根据条件将已知角的三角函数值转化为直角三角形中两边的关系，利用勾股定理求出第三边，然后计算出待求角的三角函数值.
探究点二：余弦的定义
【类型一】 求余弦值
如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cs∠AOB＝________.
解析：如图所示，连接AB，设每个小正方形网格边长为1，则OA＝eq \r(,22＋42)＝2eq \r(5)，OB＝AB＝eq \r(,32＋12)＝eq \r(,10)，所以AB2＋OB2＝20，OA2＝20，AB2＋OB2＝OA2，故∠ABO＝90°，cs∠AOB＝eq \f(OB,OA)＝eq \f(\r(,10),2\r(5))＝eq \f(\r(,2),2).
方法总结：在不知道角度的情况下，求锐角的三角函数值，应先将其放置在直角三角形中，求出各边的长，再根据概念解题.
【类型二】 构造直角三角形求余弦值
如图，已知点P在第一象限，其坐标是(a，b)，则csα等于( )

A.eq \f(a,b) B.eq \f(b,a) C.eq \f(a,\r(,a2＋b2)) D.eq \f(b,\r(,a2＋b2))
解析：图中无直角三角形，需构造直角三角形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解.过点P作PH⊥x轴，垂足为点H，如图.在Rt△OPH中，∵PH＝b，OH＝a，∴OP＝eq \r(,OH2＋PH2)＝eq \r(,a2＋b2)，∴csα＝eq \f(OH,OP)＝eq \f(a,\r(,a2＋b2)).故选C.
方法总结：也可以过点P作PM⊥y轴于点M，注意点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|，若点P不在第一象限，则要注意字母的符号.
【板书设计】
正弦和余弦eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正弦：sinA＝\f(∠A的对边,斜边)＝\f(BC,AB)＝\f(a,c),余弦：csA＝\f(∠A的邻边,斜边)＝\f(AC,AB)＝\f(b,c)))