初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）23.1 锐角的三角函数第1课时教案设计

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）23.1 锐角的三角函数第1课时教案设计，共17页。教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；(重点)
2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；(重点)
3.了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的简单实际问题.(重点)
【教学过程】
一、情境导入
如图，这种方法可以用来测量物体的高度.
由图我们想到在直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本章的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关问题.
二、合作探究
探究点一：正切的定义
【类型一】 根据已知条件求锐角的正切值
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝7(AC>BC)，AB＝5，求tanB的值.
解析：要求tanB的值，根据锐角三角函数的定义，则需要求出对边AC和邻边BC的长.已知斜边AB＝5，且AC＋BC＝7，所以可以根据勾股定理进行计算.
解：设AC＝x，则BC＝7－x.
根据勾股定理，得x2＋(7－x)2＝52，解得x＝3或4.
∵AC>BC，∴AC＝4，BC＝3.∴tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(4,3).
方法总结：本题的解题思路是根据已知条件确定∠B的对边和邻边的长，采用了一般的解题方法，并体现了方程思想在求三角函数值中的应用.实际上，根据以往做题的经验，不通过计算，直接观察就可以解决.因为斜边是5，且两条直角边的和为7，所以两条直角边的长分别是4和3.
【类型二】 已知锐角的正切值求解其他问题
在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝0.75，△ABC的周长为24.求△ABC的面积.
解析：因为△ABC为直角三角形，所以要求它的面积可求两直角边AC和BC的长.又tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,4)，AC＋BC＋AB＝24，且AB2＝AC2＋BC2，故可求AC和BC的长，从而可求面积.
解：∵∠C＝90°，tanA＝0.75，∴tanA＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,4).
设BC＝3k，则AC＝4k，∴AB＝eq \r(,AC2＋BC2)＝eq \r(,16k2＋9k2)＝5k.
∵AC＋BC＋AB＝24，∴4k＋3k＋5k＝24，∴k＝2.
∴AC＝8，BC＝6.∴S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)×8×6＝24.
方法总结：题目中已知锐角的正切值，通常利用正切的概念将其转化为边的比值，再根据周长求出各边的长度.这里采用了设参数(k)的方法.
探究点二：坡度、坡角
如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是( )
A.2eq \r(,5)米 B.2eq \r(10)米 C.4eq \r(,5)米 D.6米
解析：先由i＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(1,3)，BC＝2米，求出AC，再利用勾股定理求出AB的长.∵∠ACB＝90°，i＝1∶3，∴i＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(1,3).∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米).∴AB＝eq \r(,AC2＋BC2)＝eq \r(,36＋4)＝2eq \r(,10)(米).故选B.
方法总结：理解坡度的概念是解决与坡度有关的计算题的关键.
【板书设计】
正切eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(正切：在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边, 与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA., tanA＝\f(∠A的对边,∠A的邻边)＝\f(BC,AC)＝\f(a,b),坡度：坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫, 做坡面的坡度，记作i，即i＝\f(h,l),坡角：坡面与水平面的夹角，记作α，i＝\f(h,l)＝tanα.))