人教版（2024）九年级上册公式法教学设计

这是一份人教版（2024）九年级上册公式法教学设计，共15页。

典案二 导学设计
年级： 年级 科目：数学 课型：新授 执笔： 审核：
备课时间： 上课时间：
教学目标
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重点：求根公式的推导和公式法的应用．
难点：一元二次方程的求根公式的推导．
【课前预习】
导学过程
阅读教材第9页至第12页的部分，完成以下问题
1、用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
总结用配方法解一元二次方程的步骤：
2、如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1= x2=
分析：因为前面具体数字系数的方程已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得： ，二次项系数化为1，得
配方，得： 即
∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：
b2-4ac＞0，则＞0
直接开平方，得： 即x=
∴x1= ，x2=
b2-4ac=0，则=0，此时方程的根为 即一元二次程
ax2+bx+c=0（a≠0）有两个 的实根。
b2-4ac＜0，则＜0，此时（x+）2 ＜0，而x取任何实数都不
能使（x+）2 ＜0，因此方程 实数根。
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根，当b2-4ac＜0时，方程没有实数根。
（2）x=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根，也可能有 实根或者 实根。
（5）一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b2-4ac
用公式法解下列方程．
（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
【课堂活动】
活动1、预习反馈
活动2、例习题分析
例2、用公式法解下列方程．
（1）x2-4x-7=0 （2）2x2-x+1=0 （3）5x2-3x=x+1 （4）x2+17=8x
练习：
1、在什么情况下，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？
2、写出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的求根公式。
3、方程x2-4x+4=0的根的情况是（ ）
A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C有一个实数根 D没有实数根
4、用公式法解下列方程．
（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
（5）x2+x-6=0 （6）x2-x-=0 （7）3x2-6x-2=0

（8）4x2-6=0 （9）x2+4x+8=4x+11 (10) x（2x-4）=5-8x

【课堂练习】：
活动3、知识运用
1、利用判别式判定下列方程的根的情况：
（1）2x2-3x-=0 （2）16x2-24x+9=0 （3）x2-x+9=0 （4）3x2+10x=2x2+8x
2、用公式法解下列方程．
（1）x2+x-12=0 （2）x2-x-=0 （3）x2+4x+8=2x+11
（4）x（x-4）=2-8x （5）x2+2x=0 (6) x2+x+10=0
归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况．
【课后巩固】
一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）．
A．x= B．x= C．x= D．x=
2．方程x2+4x+6=0的根是（ ）．
A.x1=，x2= B.x1=6，x2= C.x1=2，x2= D.x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．

2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；
（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．

3、 某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元一次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出m并解此方程．
你能解决这个问题吗？
课题
21.2.2 公式法
授课人
教
学
目
标
知识技能
理解一元二次方程求根公式的推导过程；
会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程；
能够理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理.
数学思考
经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力.
问题解决
引导学生熟记一元二次方程的求根公式x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)，并理解公式成立的条件b2－4ac≥0.
情感态度
通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心.
教学重点
一元二次方程求根公式的推导和公式的简单应用以及利用根的判别式进行相关的判定和计算.
教学难点
一元二次方程求根公式的推导.
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
提出问题：
问题1：配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
学生回答，教师点评，并做好指导工作.
(1)移项．(2)二次项系数化为1.
(3)配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方).
(4)变形：原方程变形为(x＋m)2＝n的形式.
(5)开方：如果n是非负数，那么可以直接开平方求出方程的解；如果n是负数，那么一元二次方程无解.
(6)定解．
问题2：当一元二次方程的二次项系数不为1时，应该如何应用配方法求解？
当一元二次方程的二次项系数不为1时，只要在方程两边同时除以二次项的系数，将方程转化为二次项系数为1的方程即可.
总结用配方法解一元二次方程的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程作准备.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
张老师要求同学们解一元二次方程2x2＋x＋1＝0，大家才动笔，小强突然站起来说这个方程无实数解，同学们都带着愕然、怀疑的目光看向老师，只见张老师微笑地点了点头，你知道小强是如何快速作出判断的吗？下面让我们一起探究今天的新知吧！
通过情景，使学生产生悬念“如何快速判断方程根的情况”，激发深入探究新知的欲望，从而顺利完成本课知识的学习.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
问题1：利用配方法，你能解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)吗？
学生自主解方程，确定一名学生进行板演．
教师点拨：我们不妨把a，b，c也当成一个具体的数字，根据配方法的解题步骤一步步推下去．
解：移项，得__ax2＋bx＝－c__．
二次项系数化为1，得__x2＋eq \f(b,a)x＝－eq \f(c,a)__．
配方，得__x2＋eq \f(b,a)x＋(eq \f(b,2a))2＝－eq \f(c,a)＋(eq \f(b,2a))2__．
变形，得__(x＋eq \f(b,2a))2＝eq \f(b2－4ac,4a2)__．
当b2－4ac≥0时，两边开平方，得__x＋eq \f(b,2a)＝±eq \f(\r(b2－4ac),2a)__．
所以方程的解为__x1＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a)__．
教师提示：
(1)在开方环节能直接开平方吗？需要注意什么？
(2)等号右边的值可能为负吗？
学生小组内交流、讨论，达成共识．
教师板书：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)(b2－4ac≥0)．
练习：试用公式法解方程6x2－7x＋1＝0.
学生自主解方程，简述方法，教师点评．
问题2：回顾一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求解过程，你能分析出它的解的情况吗？
学生小组内交流、讨论，教师给予指导和帮助，达成共识，得出结论：
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac.
教师板书：
当Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；
当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ