数学九年级上册（2024）第三十章 直线与圆的位置关系30.3 正多边形与圆优质学案

这是一份数学九年级上册（2024）第三十章 直线与圆的位置关系30.3 正多边形与圆优质学案，共10页。学案主要包含了模型认知，模型探究，模型应用，实践探索，迁移应用，概念理解，创新思考，初步探究等内容，欢迎下载使用。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 正多边形和圆
【典例1】若一个正n边形的每个内角为150°，则这个正n边形的边数是（ ）
A．11B．12C．13D．14
【变式1】如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，连接AC，AE，以点D为圆心，CD的长为半径作CE，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．23−4π3B．43−4π3C．4π3D．23−2π3
【变式2】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为（ ）
A．2B．23C．3D．43
【变式3】如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若∠BOC是正n边形的一个中心角，则n的值为（ ）
A．8B．10C．12D．16
【变式4】中国体育代表队在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会上的一面金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形ABCDEF的周长约为185mm，则BF的长为 mm．
【变式5】如图，在平面直角坐标系中，以正六边形ABCDEF的中心O为原点，顶点A，D在x轴上，若半径是4，则顶点C的坐标为 ．
【变式6】如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为3，则点O到AC的距离OG的长为 ．
题型2 圆的综合题
【典例1】如图，平行四边形OABC中，OA＝6，∠AOC＝45°，以AB为直径的圆经过点C，点Q为线段OC上动点（不与O、C重合），过点Q作直线PD⊥OA于D，交直线BC于P．①点B的坐标是(12，62)；②直线AB的解析式是：y＝x﹣6；③当OD=9−32时，直线PQ与已知圆相切；④直线OC与圆看似相切，实则相交．以下结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1】如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O交AC于D，交AB于E，连接BD，CE交于点F，经过点E作EG⊥BC于G，交BD于H，过点E作EM⊥AC于M．则下列结论：①BE＝EM；②∠ECA＝∠BEG；③EH=12BF；④EM是⊙O的切线．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
【变式2】【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足PA＝kPB的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求AP+12BP最小值．
第一步：如图②，连结圆心C与动点P；
第二步：以半径CP为公共边，构造“母子”型相似△CPM∽△CBP．
第三步：计算CM的长度，由△CPM∽△CBP可得CMCP=CPCB=12，即CM=12CP=1．
第四步：AP+12BP=AP+MP，如图③，当A、P、M三点共线时AP+12BP最小，此时AP+12BP= 37 ．
【模型探究】如图④，在△ABC中，AC＝1，AB＝2，D为AB上一点，小明同学认为当AD=12时，CD的长是BC长的一半，于是给出如下证明：
∵AC=1，AB=2，AD=12，
∴ACAB=12，ADAC=12，
∴CDBC=ACAB=12，
∴CD=12BC．
请补全缺失的证明过程．
【模型应用】如图⑤，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P为扇形上一动点，则2AP+PB的最小值为 ．
【变式3】如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（1，3）、B（3，2），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（直接填写答案）
（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为 ；
（2）点B1的坐标为 ；
（3）在旋转过程中，点B运动的路径为BB1，那么BB1的长为 ．
【变式4】如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，以O为圆心的圆与AB相切于点C，⊙O交BO延长线于点D，连接CD，CD交AO于点E．
（1）求∠D的度数；
（2）若BO＝4，求OE的长．
【变式5】如图，BC为△ABC的外接圆⊙O的直径，点I为△ABC的内心，连接BI，CI．
（1）如图1，求∠BIC的度数；
（2）如图2，连接AI并延长交圆于点D，连接BD，在过D点的圆的切线上取点H，连接CH，使CH∥BD，若已知DH长为10，求DI的长．
【变式6】综合与实践【主题】足球最佳射门位置
【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段PQ表示球门，∠PAQ、∠PBQ为射门张角．理论上当射门张角越大时，进球的可能性越大．如图1， ∠PAQ ∠PBQ．（用“＞”、“＜”或“＝”填空）
【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段PQ为弦作⊙O，恰与直线l相切，切点为A．若点M是l上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即∠PAQ＞∠PMQ．
【迁移应用】如图3，点P（2，0），点Q（6，0），点A为y轴正半轴上的一个动点，当∠PAQ最大时，请求出点A的坐标．
过 关 验 收
如图是由7个正六边形组成的蜂窝状置物架，若每个正六边形的边长都为20cm，则该置物架挂上墙面所需要的水平宽度d为（ ）
A．120cmB．180cm
C．190cmD．(1603+60)cm
如图，AB、AC、AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若AB＝4，下面结论中正确的是（ ）
①该圆的半径为4；②AC平分∠BAD；③AC的长为π2；④连接BC，CD，则△ABC与△ACD的面积比为1：3．
A．②③④B．①②④C．①②③D．①②③④
在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．πB．2πC．3πD．4π
如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC的距离为 ．
如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧BC上一点（不与点C重合），则∠CPD的度数为 ．
如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为 ．
如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADB的度数为 ．
如图①，是李凯购买的一个手工编织品，把它抽象成如图②的几何图形，李凯发现它是由一个正方形的内切圆和外接圆组成，已知内切圆的半径是3，阴影部分的面积 是 ．
如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，AB是直径，BC＝43，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧．
（1）求⊙O的半径；
（2）当CD＝42时，求∠ACD的度数；
（3）连接AD，设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值．
已知点O为△ABC边BC上一点，以点O为圆心，OA为半径作圆与AC相切于点A，与边BC交于点D．
（1）如图①，过点O作OE⊥BC，交AB于点E，交CA延长线于点G，若∠OBE＝30°，BD＝10，求AG的长；
（2）如图②，CM与⊙O切于点M，连接MB，与直径AN交于点H，若AN⊥BM，且BM＝AC＝8，求AH的长．
材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而 （选填“变强”“不变”“变弱”）．
【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．
（3）请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
【创新思考】
（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，连接AC，BC．
（1）求证：∠ACD＝∠DBC；
（2）若BD=2，tanD=12，求⊙O的半径．
如图1，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AE＝CD，AD＝EC．
（1）如图2，若点O为AC上一点，且E，A，D三点均在⊙O上，连接OD，CD与⊙O相切于点D；
①∠ACD的度数为 ；
②AC＝4，求⊙O的半径r；
（2）利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线DF∥AC，交BC于点F，保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB延长线上一点，且满足∠BCP＝∠BAC，作CD⊥AB于点D．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，AC＝8，求CP的长；
（3）如图2，延长CO交⊙O于点Q，延长CD交⊙O于点E，连接AE与CQ交于点H，若CDAD=x，OHCH=y，求y与x之间的函数关系式．
【初步探究】（1）如图1，AB为⊙O的直径，点P在BA的延长线上，在⊙O上任取一点C（不与A，B两点重合），连结PC，OC．判断PA与PC的大小关系，并说明理由；
【直接运用】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是CD上的一个动点，连接AP，求线段AP长度的最小值；
【构造运用】（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE＝2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值为 ．
如图，AB为⊙O的直径，延长AB至F，作EF相切⊙O于点E，
（1）若OB＝BF，求∠F的大小；
（2）点D是直径AB上一点且DF＝EF，连接ED并延长交⊙O于C点，连接OC，求证OC⊥AB；
（3）在（2）的条件下，若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．
题型1 正多边形和圆
题型2 圆的综合题
解｜题｜知｜识
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
解｜题｜知｜识
考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大．
证明过程缺失