初中数学人教版九年级上册24.3 正多边形和圆学案

24.3  正多边形和圆

【学习目标】

1.了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。

2.知道正多边形的对称性。了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而做出圆内接或圆外切正多边形。

3.会用圆规作圆内接正方形和正六边形，能作圆内接正三角形、正八边形、正十二变形。

知识点一 正多边形和圆的关系

1.   正多边形：各边相等，各角也相等的多边形
2.   正多边形与圆的关系
     把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
    

【例题】如图所示，六边形ABCDEF内接于⊙O，且AB=BC=CD=DE=EF=FA.求证：六边形ABCDEF为正六边形。

【解析】判断一个圆内接多边形是正多边形，关键是判断多边形的各顶点都是等分圆的点即可

【解】∵六边形ABCDEF内接于⊙O,且AB=BC=CD=DE=EF=FA.

∴弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EF=弧FA

∴A.B.C.D.E.F六等分⊙O

∴六边形ABCDEF为正六边形

【变式1】正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数为（　　）

A．10 B．8 C．6 D．5

【考点】正多边形和圆．

【分析】设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出这个正多边形的边数即可．

【解答】解：设这个正多边形的边数是n，

∵正多边形的中心角是36°，

∴=36°，

解得n=10．

故选A．

【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角是解答此题的关键．

【变式2】正八边形的中心角是（　　）

A．45° B．135° C．360° D．1080°

【考点】正多边形和圆．

【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．

【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°；

故选A．

【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．

知识点二  正多边形的有关概念与计算

正多边形的有关概念 

①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
  ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
  ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

【例题】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）

【考点】正多边形和圆．

【分析】连接OB、OC求出圆心角∠BOC的度数，再由等边三角形的性质即可求出正六边形的周长；

过O作△OBC的高OG，利用等边三角形及特殊角的三角函数值可求出OG的长，利用三角形的面积公式即可解答．

【解答】解：连接OB、OC；

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠BOC==60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴BC=OB=8m，

∴正六边形ABCDEF的周长=6×8=48m．

过O作OG⊥BC于G，

∵△OBC是等边三角形，OB=8m，

∴∠OBC=60°，

∴OG=OB•sin∠OBC=8×=4m，

∴S△OBC=BC•OG=×8×4=16，

∴S六边形ABCDEF=6S△OBC=6×16=96m2．

【点评】本题考查的是正六边形及等边三角形的性质、特殊角的三角函数值，作出辅助线构造出等边三角形是解答此题的关键．

【变式】已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．

【分析】根据正六边形的半径等于边长即可得出正六边形的周长，再由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的面积．

【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，

∴正六边形的边长AB=OA=a；

正六边形的周长=6AB=6a；

∵OM=OA•sin60°=a，

正六边形的面积S=6××a×a=a2．

【点评】本题考查的是正六边形的性质、三角函数、三角形面积的计算，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．

知识点三 正多边形的画法

  要作半径为R的正n边形，只要把半径为R的圆n等分，然后顺次连接各等分点即可。

正三角形的画法

第一步：用圆规画一个圆，
第二步：半径不变，把圆规的针脚放在圆周上任意一点P画弧与圆交于两点A、B，
第三步：半径不变，把圆规的针脚放放在点A处再画画弧与圆交于两点P、Q(P是第二步中的P)，
第四步：以A、B、Q为顶点作△ABQ，则△ABQ即为圆内接等边△。

正四边形的画法

取已知圆O上任一点A，以A为一个分点把⊙O六等分，分点依次为A、B、C、D、E、F。分别以A、D为圆心，AC、BD为半径作圆交于G，以A为圆心，OG为半径作圆，交⊙O于M、N，则A、M、D、N即四等分⊙O的圆周。其中的把⊙O六等分,是取AB=AO(因为是等边三角形),以此类推,可得到六等分点可参考图片

正五边形的画法

①       以O为圆心，r为半径画圆，并作互相垂直的直径MN和AP。

②       平分半径ON，得OK=KN。

③       以K为圆心，KA为半径画弧与OM交于H，AH即为正五边形

的边长。

    ④以AH为弦长，在圆周上截得A、B、C、D、E点，

正七变形的画法

① 以定长R为半径作圆，并过圆心O作互相垂直的纵横两条直径MN、HP.
② 过N点任作一射线NS，用圆规取七等分，把端点T与M连结起来，然后过NT上的各点推出MT的平行线，把MN七等分.
③以 M为圆心，MN为半径画弧，和PH的延长线相交于K点，从K向MN上各分点中的偶数点或奇数点（图中是 1、3、5、7各点）引射线，与交于A、B、C、M.再分别以 AB、BC、CM为边长，在圆周上从A点（或M点）开始各截一次，得到其他三点，把这些点依次连结起来，即得近似的正七边形.
 

正八边形的画

正九边形的画法

内接9边形画法：先画一个圆。再画两个相互颠倒的内接等边三角形。再把6角星的对角两两相连。得到6个与两个等边三角形的底边的6个交点。选择每一个交点为圆心，到圆内部正六边形的底边的任意一端点的距离为半径，画圆，与大圆产生2个交点。把所有交点画出来再相连，就得到正九边形。

拓展点一  圆内接正多边形的判断

【例题】如图所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．

    ∵AB=BC=CD=DE=EF

    ∴AB=BC=CD=DE=EF

    又∴∠A=BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC

    ∠B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD

    ∴∠A=∠B

    同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A

    又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上

    ∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．

【变式】如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠A=360，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形

解：∵△ABC是等腰三角形，顶角∠A=360，

∴∠ABC=720，∠ACB=720，

又弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB

∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=∠BAC=360

∴五边形AEBCD是正五边形

拓展点二  圆内接正多边形的有关计算

【例题】已知，如图，正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的外接圆半径R，边心距γ6，面积S6．

【分析】连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，易得△AOB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R，然后由勾股定理求得边心距，又由S正六边形=6S△ABC求得答案．

【解答】解：连接OA，OB，过点O作OG⊥AB于G，

∵∠AOB=60°，OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA=OB=6，即R=6，

∵OA=OB=6，OG⊥AB，

∴AG=AB=×6=3，

∴在Rt△AOG中，r6=OG=cm，

∴S6=×6×6×3=54cm2．

【点评】此题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

【变式】如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大小．

【分析】△BCM是等腰三角形，只要求出顶角∠CBM就可以，这个角是正六边形与正方形内角的差．

【解答】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，

∴∠ABC=120°，AB=BC．

∵四边形ABMN为正方形，

∴∠ABM=90°，AB=BM．（2分）

∴∠MBC=120°﹣90°=30°，BM=BC．

∴∠BCM=∠BMC．

∴∠BCM=×（180°﹣30°）=75°．（5分）

【点评】本题就是一个求正多边形的内角的问题，注意到△BCM是等腰三角形是解决本题的关键．

拓展点三 与圆内接正多边形有关的证明

【例题】已知⊙O和⊙O上的一点A．

（1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；

（2）在（1）题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边．

【分析】（1）根据圆内接正多边形的作法画出图形即可；

（2）先求出∠DOE的度数，进而可得出结论．

【解答】（1）解：作法：

①作直径AC；

②作直径BD⊥AC；

③依次连结A、B、C、D四点，

四边形ABCD即为⊙O的内接正方形；

④分别以A、C为圆心，以OA长为半径作弧，交⊙O于E、H、F、G；

⑤顺次连结A、E、F、C、G、H各点．

六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形．

（2）证明：连结OE、DE．

∵∠AOD==90°，∠AOE==60°，

∴∠DOE=∠AOD﹣∠AOE=90°﹣60°=30°．

∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边．

【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知圆内接正四边形及正六边形的作法是解答此题的关键．

【变式】如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．

【分析】首先连接OB，OC，OD，由等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，可求得∠BOC，∠BOD的度数，继而证得△COD是等腰直角三角形，继而求得答案．

【解答】解：连接OB，OC，OD，

∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，

∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，

∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，

∵OC=OD，

∴∠OCD=45°，

∴OC=CD•cos45°=5×=5（cm）．

即⊙O的半径R=5cm．

【点评】此题考查了正多边形与圆以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

拓展点四 实际应用题

【例题】如图①有一个宝塔，他的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE（如图②），点O为中心．（下列各题结果精确到0.1m）

（1）求地基的中心到边缘的距离；

（2）已知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？

【分析】（1）构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形．根据正五边形的性质得到半边所对的角是=36°，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是26÷10=2.6，最后由该角的正切值进行求解；

（2）根据（1）中的结论、塔的墙体宽为1m和最窄处为1.6m的观光通道，进行计算．

【解答】解：（1）作OM⊥AB于点M，连接OA、OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．

由正五边形性质得∠AOB=360°÷5=72°．

又AB=×26=5.2，

∴AM=2.6，∠AOM=36°，

在Rt△AMO中，边心距OM=≈3.6（m）；

（2）3.6﹣1﹣1.6=1（m）．

答：地基的中心到边缘的距离约为3.6m，塑像底座的半径最大约为1m．

【点评】本题主要考查三角函数应用，解决简单的实际问题．

课后巩固作业

1．一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（　　）

A．12mm B．12mm C．6mm D．6mm

2．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段．在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（　　）

A． B． C． D．

3．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）

A．3 B．9 C．18 D．36

4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）

A．2， B．2，π C．， D．2，

5．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（　　）

A． B． C． D．2

6．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　）

A．cm B．cm C．cm D．1cm

7．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是（　　）

A． B． C． D．

8．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（　　）

A．1：2： B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3

9．有一个边长为50cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为（　　）

A．50cm B．25cm C．50cm D．50cm

10．）如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为（　　）

A．16． B．12 C．8 D．6

二．填空题（共5小题）

11．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为　　　　　　．

12．已知⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半经是　　　　　　cm．

13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和为　　　　　　cm．

14．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD=　　　　　　度．

15．已知⊙O的周长等于6πcm，则它的内接正六边形面积为　　　　　　cm3．

三．解答题（共10小题）

16．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；

（2）求∠APH的度数．

17．如图：⊙O的内接正方形ABCD，E为边CD上一点，且DE=CE，延长BE交⊙O于F，连结FC，若正方形边长为1，求弦FC的长．

18．如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF=DM．

（1）求证：△BCF≌△CDM．

（2）求∠BPM的度数．

19．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半径．

20．已知边长为1的正方形ABCD内接于⊙O，延长BC到点E，使CE=BC，连接AE交⊙O于F，求证：EF，FA的长是方程的两根．

21．如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°．

（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）已知△ABC的边长为4cm，求⊙O的半径．

22．如图，已知边长为2cm的正六边形ABCDEF，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别为所在各边的中点，求图中阴影部分的总面积S．

23．已知：如图，在半径为R的⊙O中，∠AOB=2α，OC⊥AB于C点．

（1）求弦AB的长及弦心距；

（2）求⊙O的内接正n边形的边长an及边心距rn．

21．如图所示，求半径为2的圆内接正方形的边心距与面积．