初中人教版（2024）第三十章 直线与圆的位置关系30.1 直线与圆30.1.1 直线与圆相离、相切、相交优秀导学案

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内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 直线与圆的位置关系
【典例1】若半径为6cm的⊙O与直线l没有公共点，则圆心O到直线l的距离可以是（ ）
A．7cmB．6cmC．5cmD．4cm
【变式1】如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）
A．l1B．l2C．l3D．l4
【变式2】在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（ ）
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
【变式3】8．如图，在平面直角坐标系中，以A（5，1）为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B、C，解答下列问题：
（1）将⊙A向左平移 个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A′，此时点A′的坐标为 ，阴影部分的面积S＝ ；
（2）求BC的长．
题型2 切线的性质
【典例1】如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（ ）
A．42B．22+1C．32+1D．32−1
【变式1】如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°．夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH（即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角）的大小为（ ）
A．43°B．45°C．47°D．49°
【变式2】如图，已知BC与⊙O相切于点D，AE是⊙O的直径，当∠ACB＝90°，∠BAD＝26°时，∠CAD的度数是（ ）
A．26°B．64°C．34°D．19°
【变式3】如图，在平面直角坐标系xOy中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A，B两点，A在B的左侧，且OA，OB的长是方程x2﹣12x+27＝0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限．
（1）求⊙M的直径；
（2）求直线ON的解析式；
（3）在x轴上是否存在一点T，使△OTN是等腰三角形？若存在请在图2中标出T点所在位置，并画出△OTN（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T的坐标）；若不存在，请说明理由．
题型3 切线的判定
【典例1】如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，AD＝BD，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）求证：DH为⊙O的切线；
（2）若∠ACB＝60°，⊙O的直径为203，求AD的长．
【变式1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
①求证：AF•CF＝2DF•EF；
②若CD＝20，sinA=35，求CF的长．
【变式2】已知在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点A为圆心，r为半径作⊙A，
（1）当半径r为 时，⊙A与BC相切；
（2）当半径r为 时，⊙A与BD相切；
（3）当半径r的范围为 时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离．
【变式3】如图所示，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，AD平分∠CAB交半圆于点D，过点D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，DE=3，求线段AC的长．
题型4 切线的判定与性质
【典例1】如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D．
（1）请说明AE是⊙O的切线；
（2）若OA＝BC＝2时，求劣弧AC的长和阴影部分的面积．
【变式1】如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D，交⊙O于点E
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，AD=23，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【变式2】如图，已知⊙O的圆心O在射线PM上，PN切⊙O于Q，PO＝20cm，∠P＝30°，A、B两点同时从P点出发，点A沿PN方向移动，点B以4cm/s的速度沿PM方向移动，且直线AB始终垂直PN．设运动时间为t秒，求下列问题．（结果保留根号）
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时直线AB与⊙O相切？
【变式3】在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．
（Ⅰ）如图①，求证直线DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）如图②，作DG⊥AB于H，交⊙O于G，若AB＝5，AC＝8，求DG的长．
题型5 切线长定理
【典例1】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式1】如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为（ ）
A．35°B．45°C．60°D．70°
【变式2】如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C，若AD＝8．则三角形ABC的周长是（ ）
A．8B．10C．16D．不能确定
【变式3】已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA＝6，求△PCD的周长．
（2）若∠P＝50°求∠DOC．
过 关 验 收
已知⊙O的半径为2cm，点A在直线m上，OA＝2cm，则直线m与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交B．相切
C．相交或相切D．相交或相离
如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．平行
如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝30°，开始时，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当⊙P的运动时间t（秒）满足条件 时，⊙P与直线CD相交．
如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O切线AD，BA⊥DA于点A，BA交半圆于点E．已知BC＝10，AD＝4．那么直线CE与以点O为圆心，52为半径的圆的位置关系是 ．
如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（﹣3，0），以点P为圆心，2为半径的⊙P以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当⊙P与y轴相切时，t的值为（ ）
A．0.5B．1C．0.5或2.5D．1或3
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP＝2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是（ ）
A．1B．54C．127D．94
如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A＝70°，则∠BOC的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
如图是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝25°，求∠APB的度数．
如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半径．
如图，AE、BE分别平分∠BAC、∠ABC，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
（1）若∠ACB＝70°，则∠ADB＝ °，∠AEB＝ °；
（2）求证：DG是⊙O的切线．
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥AC，垂足为D点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P是⊙O外一点，P在直线OD上，连接PA，PB，PC，且满足∠PCA＝∠ABC．
（1）求证：PA＝PC；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
如图，已知：⊙O1与⊙O2是等圆，它们相交于A、B两点，O2在⊙O1上，AC是⊙O2的直径，直线CB交⊙O1于D，E为AB延长线上一点，连接DE．
（1）请你连接AD，证明：AD是⊙O1的直径；
（2）若∠E＝60°，求证：DE是⊙O1的切线．
如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且AF=FC=CB，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝23，∠CAB＝30°，求⊙O的半径．
如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝10，BC＝12，求DF的长．
已知，AG是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AG交⊙O于点C，连接AO并延长交BC于点M
（Ⅰ）如图1，若BC＝10，求BM的长；
（Ⅱ）如图2，连接AC，过点C作CD∥AB交AG于点D，AM的延长线交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．求证：PC是⊙O的切线．
如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由．
如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（ ）
A．32B．23C．12D．34
如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是 14 ．
如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC＝30°．
（Ⅰ）求∠P的大小；
（Ⅱ）若AB＝2，求PA的长（结果保留根号）．
已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长．
题型1 直线与圆的位置关系
题型2 切线的性质
题型3 切线的判定
题型4 切线的判定与性质
题型5 切线长定理
解｜题｜知｜识
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
解｜题｜知｜识
切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
解｜题｜知｜识
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
解｜题｜知｜识
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
解｜题｜知｜识
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．