人教版（2024）九年级上册（2024）29.3 弧长和扇形面积优秀学案

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内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 弧长的计算
【典例1】如图，在半径为6的⊙O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则AC的长为（ ）
A．8πB．5πC．4πD．6π
【变式1】从一张圆形纸板剪出一个小圆形和一个扇形，分别作为圆锥体的底面和侧面，下列的剪法恰好配成一个圆锥体的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC＝20°，在直径AB上截取AD＝AC，延长CD交⊙O于点E．若CE=23，则劣弧CE的长为（ ）
A．πB．3πC．233πD．23
【变式3】如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，AB=AE，BE分别交AD、AC于点F、G．
（1）证明：FA＝FB；
（2）若BD＝DO＝2，求EC的长度．
题型2 扇形面积的计算
【典例1】如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若AB与CD所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（ ）
A．πB．2πC．32π−2D．2π﹣2
【变式1】两个半径相等的半圆按如图所示放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为3，则阴影部分的面积是（ ）
A．π−334B．πC．π2−334D．π−332
【变式2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC=42，以点B为圆心，分别以BA，BC长为半径画弧交BC于点E，交AD于点F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8B．2π+2C．162−4πD．162−8−4π
【变式3】如图，正方形ABCD的边长为2，以A为圆心，AB为半径画弧．连接AC，以A为圆心，AC为半径画弧交AD的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 ．
题型3 圆锥的计算
【典例1】下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．将圆锥的侧面沿母线剪开并展平，可能得到一个矩形
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．平分弦的直径一定垂直于弦
【变式1】如图，圆锥底面圆的半径OB的长为6，母线AB的长为12，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）
A．90°B．120°C．150°D．180°
【变式2】如图，要用一个半径为24cm扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为10cm，则这个扇形的圆心角的度数（ ）
A．120°B．135°C．150°D．160°
【变式3】如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径CA＝3，圆心角∠ACB＝120°．
（1）求AB的长；
（2）求此圆锥高OC的长．
过 关 验 收
如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝60°，OA＝3，则AB的长为（ ）
A．πB．25πC．20πD．10π
物理课上，诚诚发现：当重物上升时，滑轮上点A的位置也在不断改变．如图，已知滑轮的半径OA＝9cm，若重物上升了6πcm，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则OA绕点O按逆时针方向旋转的角度为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．150°
一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的弧长为 ．（结果保留π）
如图，AB为半圆⊙O的直径，点C，D为半圆上两点，若∠C＝120°，AB＝2，则BD的长为 π3 ．（结果保留π）
生活中常见的轮子都是圆形，有一种特殊的莱洛三角形，是由三段相等的圆弧构成，虽然不是圆，但是用它的形状做成滚轮（如图①）的效果和圆形滚轮是相同的，其原理为每个顶点到所对圆弧的距离都为等边三角形的边长，如图②△ABC的边长为2cm，则这个莱洛三角形的周长为 cm．
如图，线段PQ在⊙O的直径AB上运动，AB＝4，PQ＝2，分别过点P，Q作PC⊥AB，QD⊥AB，与⊙O分别相交于点C，D．设CD的长度为l，则l的大小范围是 ．
如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，以AO为直径作半圆，若OC的长为2m，则阴影部分的面积为（ ）
A．(2π−23)m2B．(4π3−3)m2
C．8π3m2D．(2π3−3)m2
如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，BC长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．23−23πB．3−13πC．23−43πD．3−23π
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，D为BC中点．分别以BD、CD为半径作弧，与AC、AB分别交于E、F两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．48−254πB．24−254πC．24−256πD．48﹣25π
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，分别以B、C为圆心，12BC长为半径画弧，交BC于点P，交AB于点M，交AC于点N，则图中阴影部分面积为（ ）
A．6−2516πB．6−258πC．12−2516πD．12−258π
若扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的面积为 ．
如图，两个半径均为1的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，已知圆心Q是AB的中点，则图中阴影面积等于 ．
如图，矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（ ）
A．6cmB．8cmC．485cmD．10cm
用半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．20B．15C．10D．5
在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径15cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
一个圆锥母线长30cm，底面圆半径10cm，则圆锥的侧面展开图的圆心角为 ．
如图，矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为 cm．
如图，有一个圆形纸片⊙O，AB是弦，量得⊙O半径为10cm，圆心角∠AOB＝120°．
（Ⅰ）求弦AB的长；
（Ⅱ）若用剪刀剪下这个圆心角为120°的扇形，再用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是多少？
题型1 弧长的计算
题型2 扇形面积的计算
题型3 圆锥的计算
解｜题｜知｜识
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l=nπR180（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
解｜题｜知｜识
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=n360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
解｜题｜知｜识
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形周长公式为C＝l+2r（周长＝弧长+2条半径）．
（3）圆锥的侧面积：S侧=12•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积=13×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．