初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）有理数教案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）有理数教案，共11页。教案主要包含了教学目标等内容，欢迎下载使用。
（一）学习目标
1.理解绝对值的概念及通过从数、形两个方面理解绝对值的意义，初步了解数形结合的思想方法；
2.会求一个数的绝对值；知道一个数的绝对值，会求这个数；
3.通过应用绝对值解决实际问题，培养学生的学习兴趣，提高学生对数学的好奇心和求知欲．
（二）学习重点
理解绝对值的概念，通过从数、形两个方面理解绝对值的意义，初步了解数形结合的思想方法
（三）学习难点
会求一个数的绝对值，知道一个数的绝对值，会求这个数
教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作.
一个正数的绝值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
一个数的绝对值一定是一个非负数.
2.预习自测
－2017的绝对值是（ ）
－2017 B.2017 C. D.
【知识点】绝对值
【解题过程】解：－2017的绝对值是2017.
【思路点拨】根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解.
【答案】B
的相反数是 .
【知识点】绝对值
【解题过程】解：的相反数是－2.
【思路点拨】先化简为2,即求2的相反数.
【答案】－2
下列说法中正确的是( )
符号相反的数互为相反数;
一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上越靠右;
一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上离原点越远;
当时,.
【知识点】绝对值
【解题过程】解：符号相反的数互为相反数.错误,如－1与2,故A说法不正确;一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上离原点越远,故B错误,C正确；当时,，故D错误，故应选C.
【思路点拨】根据绝对值的意义和性质即可求解.
【答案】C
下列等式不成立的是( )
A. B. C. D.
【知识点】绝对值
【解题过程】解：不成立的是B,因为
【思路点拨】根据绝对值的意义和性质即可求解.
【答案】B
（二）课堂设计
1.知识回顾
数轴的三要素是什么？
什么叫互为相反数？它的几何意义是什么？
2.问题探究
探究一 绝对值的定义及其几何意义
●活动： 绝对值的概念及其几何意义
两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10km，到达A、B两处。
问题：（1）两辆车的行驶路线相同吗？
（2）它们的行驶路程相等吗？
（3）若以出发地为原点，在数轴上分别标出A、B两地的具体位置并指出A、B两点各表示的数是多少？
生举手回答
生：（1）不同；（2）相等；（3）10，－10.
师总结提炼：
一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作.
因为10和－10，它们与原点的距离都是10个单位长度，所以10和－10的绝对值都是10，即.
【设计意图】通过学习，让学生了解绝对值的定义，知道绝对值的表示方法,理解绝对值的几何意义.
探究二 绝对值的法则★
●活动： 绝对值的法则
请根据绝对值的定义写出下列数的绝对值：6，－8，－3，9，，，100，0.
师生共同得出其结果.
由计算结果可得：6，8，3，9，，，100，0.
任何数的绝对值均为非负数，即
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
即
【设计意图】通过学习，让学生理解求一个数的绝对值就是求数轴上表示该数的点到原点的距离，掌握求一个数的绝对值的方法，为后续的应用作好铺垫。
●活动 ：绝对值法则的运用
例1. 计算：①；②；③；④|0|=________.
【知识点】绝对值
【数学思想】数形结合
【解题过程】解：①；②；③；④|0|=0.
【思路点拨】根据绝对值的法则即可求解.
【答案】①；②；③；④|0|=0.
练习：计算：   ④
【知识点】绝对值
【解题过程】解：由题意得：   ④
【思路点拨】根据绝对值的法则即可求解.
【答案】   ④
【设计意图】通过练习，让学生能熟练的根据绝对值的法则求一个数的绝对值.
●活动
例2.（1）绝对值等于2的数有 个，它们是 .
若，则= .若，则= .
若|a－3|＋|b－2015|＝0，求a，b的值．
【知识点】绝对值
【解题过程】解：（1）绝对值等于2的数有两个，它们2或－2.
若，则.若，则.
若|a－3|＋|b－2015|＝0，则|a－3|=0,|b－2015|=0,所以
即.
【思路点拨】（1）根据绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数可求解.
可先化简，再根据绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数可求解.
根据任何数的绝对值为非负数可知，非负数的和为0时，只有各部分分别为0即可求解.
【答案】（1）2或－2；（2）±1，±9；（3）
练习：（1）若一个数的绝对值等于4，则这个数为 .
若且，则 ;若,则 .
若则= .
【知识点】绝对值
【解题过程】解：（1）若一个数的绝对值等于4，则这个数为
若且，则－2;若，则1.
（3）若则=2.
【思路点拨】根据绝对值的性质即可求解。
【答案】（1） （2）－2；1 （3）2
【设计意图】通过学习，让学生能灵活运用绝对值的性质解决相关问题，同时加深对绝对值的理解。
●活动④
例3.为何值时，下列各式成立？
；（2）； （3）；
【知识点】绝对值
【解题过程】解：（1）当时，
（2）当时，
（3）当 时，
【思路点拨】根据绝对值等于本身的数是非负数，绝对值等于相反数的数是非正数，任何一个数的绝对值均是非负数即可求解。
【答案】（1） （2） （3）
练习：若，则数在数轴上的对应点一定在（ ）
A.原点左侧 B.原点及原点左侧 C.原点及原点右侧 D.原点右侧
【知识点】绝对值
【解题过程】解：若，则数在数轴上的对应点一定在原点及原点右侧.故应选C
【思路点拨】根据绝对值等于本身的数是非负数即可求解。
【答案】C
【设计意图】通过练习，学生对绝对值的性质应用会更加灵活，对绝对值难点的突破更加有效。
探究三 应用绝对值解决实际问题▲
●活动
例4.世乒赛用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数).
(1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明．
(2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由．
【知识点】绝对值的意义
【解题过程】解：(1)四号球，|0|＝0正好等于标准的质量，五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08克，二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克．
(2)一号球|－0.5|＝0.5，不合格，二号球|＋0.1|＝0.1，优等品，三号球|0.2|＝0.2，合格品，四号球|0|＝0，优等品，五号球|－0.08|＝0.08，优等品，六号球|－0.15|＝0.15，合格品．
【思路点拨】由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量即判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．
【答案】（1）二、四、五号球；（2）优等品：二、四、五号球；合格品：三、六号球；不合格品：一号球。
练习：某出租车司机一天上午在南北方向的大街上营运，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午行车里程如下（单位：千米）：+10，－3，+8，－5，12，11，－10，－10．若汽车耗油量为0.07升/千米,求上午他一共用掉了多少升油?
【知识点】绝对值的意义.
【解题过程】解：汽车这天上午一共走了：
=69千米，共耗油（升）
【答案】4.83升.
【设计意图】 通过练习，让学生感悟数学与实际生活的联系的紧密，明白数学来源于生活又高于生活，学生学习数学的目的是解决生活中的问题，从而提升学生学习数学的兴趣，激发学生的学习热情。
3.课堂总结
知识梳理
（1）一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作.
（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
（3）一个数的绝对值一定是一个非负数.
（4）
重难点归纳
（1）任何数的绝对值均为非负数，即
（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
即
（3）若，则，若，则
（三）课后作业
基础型 自主突破
1.数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为（ ）
A．6或－6 B．6 C．－6 D．3或－3
【知识点】绝对值
【解题过程】解：数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为6或－6.
【思路点拨】根据绝对值的定义即可求解.
【答案】A
2.－5的绝对值是（ ）
A.－5 B．±5 C． D．5
【知识点】绝对值
【解题过程】－5的绝对值是5
【思路点拨】根据绝对值的法则即可求解.
【答案】D
3.若，则与的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．都为0 D．相等或互为相反数
【知识点】绝对值
【解题过程】解：若，则与的关系是相等或互为相反数.
【思路点拨】根据绝对值的意义即可求解.
【答案】D
4.若是有理数，则下列说法正确的是（ ）
A．||一定是正数 B．一定是负数 C．一定是负数 D．一定是正数
【知识点】绝对值
【解题过程】解：A．||一定是正数是错误的,应该是非负数;B．一定是负数是错误的,当是正数是,为负,当为负数时,为正;当为0时,为0.故B错误; C．一定是负数是错误的,应该是非正数;故应选D
【思路点拨】根据任何数的绝对值均为非负数即可求解.
【答案】D
5.(1)绝对值等于5的数有 个,它们是 ;
(2)绝对值最小的有理数是 ;
(3)绝对值等于它本身的是数是 ;
(4)若,则= .
【知识点】绝对值
【解题过程】解：(1)绝对值等于5的数有两个,它们是;
(2)绝对值最小的有理数是0;
(3)绝对值等于它本身的是数是非负数;
(4)若,则=.
【思路点拨】根据绝对值的定义及性质即可求解.
【答案】（1）两个， ；（2）0； （3）非负数 ； （4）
6.已知，求的值．
【知识点】绝对值
【解题过程】解：由题意得，所以故
所以
【思路点拨】根据任何数的绝对值均为非负数，而非负数的和为零时，只有各部分分别为零，从而可分别求出的值，再代入即可求解.
【答案】3
能力型 师生共研
1.若,则= ；若,则= .
【知识点】绝对值
【解题过程】解：若,则=;若,则=.
【思路点拨】根据绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数即可求解.
【答案】； .
2.如果，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【知识点】绝对值
【解题过程】解： 如果，则，则应选B
【思路点拨】根据任何一个数的绝对值均是一个非负数即可求解.
【答案】B
探究型 多维突破
1.大家知道|5|=|5－0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点即表示0的点之间的距离．又如式子|6－3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子|a+5|在数轴上的意义是 ．
【知识点】绝对值
【数学思想】数形结合
【解题过程】解：式子|a+5|在数轴上的意义是表示数的点与表示－5的点之间的距离．
【思路点拨】先读懂题目的意思，了解数轴上两个点的距离等于表示这两个点的数的差的绝对值.
【答案】表示数的点与表示－5的点之间的距离
2.求+||的值．
【知识点】绝对值
【解题过程】解：原式=
=
=
【思路点拨】先分别求出各自的绝对值,再把互为相反数的数相加即可求解.
【答案】
自助餐
1.绝对值不大于3的非负整数的个数是（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【知识点】绝对值
【解题过程】解：绝对值不大于3的非负整数有：,共4个
【思路点拨】可以先画出数轴,根据绝对值不大于3即指到原点的距离不大于3的非负整数即可求解.
【答案】A
2.下列各对数中，互为相反数的是 （ ）
A．与 B．|－3|与|+3| C．与 D．|－|与||
【知识点】绝对值
【解题过程】解： ，故A中两数互为相反数；
B、C、D三个选项的值相等.
【思路点拨】先分别化简即可判断.
【答案】A
3.若，则= ，= ．
【知识点】绝对值
【解题过程】解： 因为 ，所以 故
【思路点拨】根据任意数的绝对值始终是非负数即可求解.
【答案】
4.计算：（1） |－16|+|－24|－|－30| = ； （2） |+0.25|×|－8.8|×|－40|+|－1|= 。
【知识点】绝对值
【解题过程】解： （1）|－16|+|－24|－|－30| =16+24－30=10
（2）|+0.25|×|－8.8|×|－40|+|－1|=0.25×8.8×40+1=89
【思路点拨】先化简,再根据混合运算的步骤计算即可.
【答案】（1）10 （2）89
5.已知，试计算的值.
【知识点】绝对值
【解题过程】解： 因为 ，所以
所以
【思路点拨】根据非负数的和为零，需各部分分别为零即可求解。
【答案】4
6.阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1=0和m﹣2=0，分别求得m=﹣1，m=2（称﹣1，2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值m=﹣1和m=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）m＜﹣1；（2）﹣1≤m＜2；（3）m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况：
（1）当m＜﹣1时，原式=﹣（m+1）﹣（m﹣2）=﹣2m+1；
（2）当﹣1≤m＜2时，原式=m+1﹣（m﹣2）=3；
（3）当m≥2时，原式=m+1+m﹣2=2m﹣1．
综上讨论，原式=
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值；
（2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|；
（3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值．
【知识点】绝对值
【数学思想】数形结合
【解题过程】解：（1）令x﹣5=0，x﹣4=0，
解得：x=5和x=4，
故|x﹣5|和|x﹣4|的零点值分别为5和4；
（2）当x＜4时，原式=5﹣x+4﹣x=9﹣2x；
当4≤x＜5时，原式=5﹣x+x﹣4=1；
当x≥5时，原式=x﹣5+x﹣4=2x﹣9．
综上讨论，原式=．
（3）当x＜4时，原式=9﹣2x＞1；
当4≤x＜5时，原式=1；
当x≥5时，原式=2x﹣9＞1．
故代数式的最小值是1．
【思路点拨】（1）令x﹣5=0，x﹣4=0，解得x的值即可；
（2）分为x＜4、4≤x＜5、x≥5三种情况化简即可；
（3）根据（2）中的化简结果判断即可．
【答案】（1）|x﹣5|和|x﹣4|的零点值分别为5和4；（2）原式= （3）最小值为1.
一号球
二号球
三号球
四号球
五号球
六号球
－0.5
0.1
0.2
0
－0.08
－0.15