初中数学1 认识一元二次方程获奖第1课时教案及反思

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1.理解一元二次方程的概念，会判断一元二次方程．
2.会将一元二次方程化为它的一般形式，并能指出二次项及其系数、一次项及其系数、常数项．
3.经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型．
重点：掌握一元二次方程的概念和一般形式．
难点：经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，根据实际问题列出一元二次方程．
知识链接
什么叫方程？我们学过哪些方程？什么叫一元一次方程？
探究点：一元二次方程的相关概念
问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同．如果设所求的宽为x m，那么地面中央长方形地毯图案的长为 （8－2x） m ，宽为 （5－2x）m ，根据题意，可得方程： （8－2x）（5－2x）=18① ．
问题2：观察下面等式：102＋112＋122=132＋142．你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： x＋1 ， x＋2 ， x＋3 ， x＋4 ．根据题意，可得方程： x2＋（x＋1）2＋（x＋2）2=（x＋3）2＋（x＋4）2② ．
问题3：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 6 m．如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙 （x＋6） m，根据题意，可得方程： （x＋6）2＋72=102③ ．
思考1：方程①②③都不是一元一次方程．那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
未知数的最高次数是2.共同特点：它们都是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程．
概念引入：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c=0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫作一元二次方程．我们把ax2＋bx＋c=0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
思考2：为什么一般形式ax2＋bx＋c=0中要限制a≠0？b，c可以为0吗？与同伴交流．
下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（C）
A．x2＋1x2=0B．3x2－5xy＋y2=0
C．（x－1）（x－2）=0 D．4x2－1=（2x＋3）2
将方程3x（x－1）=5（x＋2）化成一元二次方程的一般形式是 3x2－8x－10=0 ，二次项系数、一次项系数和常数项分别是 3 ， －8 ， －10 ．
当a为何值时，下列方程为关于x的一元二次方程？
（1）ax2－x=2x2； （2）（a－1）x|a|＋1－2x－7=0.
解：（1）将方程整理，得（a－2）x2－x=0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程．
（2）由|a|＋1=2，且a－1≠0知，当a=－1时，原方程是关于x的一元二次方程．
1.下列方程中，属于一元二次方程的是( D )
A.x－2y＝2024B.x2＋1＝2x
C.x2－2y＋1＝0D.x2－2x＋1＝0
2.将一元二次方程5x2－1＝4x化成一般形式(a＞0)后，一次项系数为( B )
A.4B.－4C.－1D.1
3.两个连续奇数的平方和为130，若设较小的数为x，则可列方程为 x2＋(x＋2)2＝130 .
4.[高频易错]若方程(m－1)x｜m｜＋1＋2mx－3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 －1 .
5.将下列方程化成一元二次方程的一般形式(a＞0)，并写出二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)3x2－1＝2x；
(2)x(x－2)＝4x2－3x.
解：(1)整理，得3x2－2x－1＝0，二次项系数为3，
一次项系数为－2，常数项为－1.
(2)整理，得3x2－x＝0，二次项系数为3，
一次项系数为－1，常数项为0.