初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.1.2 分式的基本性质精品巩固练习

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知识点01 分式的基本性质
分式的性质的基本内容：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个 的整式，分式的值 。
式子表达：
（A、B、C均是整式且C≠0）
分式的符号改变法则：
分式的分子，分母以及分式本身均有符号，改变其中任意 符号分式不会发生改变。
即：
【即学即练1】
1．下列各式的变形，正确的是（ ）
A．2xyx2=yxB．xx+y=−xx−yC．2yx=2y+1x+1D．x−3x+3=x2−9(x+3)2
【即学即练2】
2．分式−ma−b可变形为（ ）
A．−ma−bB．m−a−bC．ma+bD．−ma+b
【即学即练3】
3．若把分式x+y2xy中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ）
A．扩大10倍B．不变
C．缩小为原来的110D．缩小为原来的1100
知识点02 分式的约分
公因式的概念：
一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的 。
公因式的求法：
对分子分母进行因式分解，然后求出系数的 与 最低次幂。他们的乘积为公因式。
最简分式的概念：
分子分母没有 的分式叫做最简公因式。
约分的概念：
根据分式的 ，把分子分母的 约去，这个过程叫约分。
约分的步骤：
①对分式中能 的分子或分母先进行因式分解。
②约去分子分母的公因式即可。
【即学即练1】
4．分式4mn220m2n中分子、分母的公因式为 ．
【即学即练2】
5．化简分式6x2−12xy+6y23x−3y需要先约分，则分子和分母的公因式是（ ）
A．（x﹣y）B．2（x﹣y）C．3（x﹣y）D．6（x﹣y）
【即学即练3】
6．下列分式是最简分式的是（ ）
A．24aB．aa−abC．a+1a2−1D．a+ba+1
【即学即练4】
7．约分：
（1）6m2n3mn2； （2）a2−4b2a2+4ab+4b2．
知识点03 分式的通分
通分的概念：
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值 的 的分式的过程叫做通分。这个相同的分母叫做 。
最简公分母的求法：
最简公分母＝所有系数的 ×所有因式的 。对能进行因式分解的分母先因式分解，在确定所含有的因式。
通分的步骤：
①将所有能分解因式的 分解因式。
②求出 。
③利用 在分子分母上同时乘一个因式，使分母变成 。
【即学即练1】
8．分式12ab与b26a2的最简公分母是（ ）
A．6a2bB．6abC．6a2b2D．2ab
【即学即练2】
9．分式1x2−y2，1x2+xy的最简公分母是（ ）
A．x2﹣y2B．x2+xy
C．（x2﹣y2）（x2+xy）D．x（x+y）（x﹣y）
【即学即练3】
10．通分：
（1）3ab与2bc； （2）2cbd与3a4b2； （3）xa(x+2)与yb(x+2)； （4）2x(x+y)2与yx2−y2．
题型01 判断分式的变形
【典例1】下列分式变形正确的是（ ）
A．a−a+b=−aa+bB．2b+ab2=2+ab
C．a2+b2a+b=a+bD．abab−b2=aa−b
【变式1】不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（ ）
A．nm=n+1m+1B．nm=n2m2
C．a2−b2a−b=a−bD．−a−ba+b=−1
【变式2】下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．yx=5y3xB．yx=y−1x−1C．yx=(a2+1)y(a2+1)xD．yx=ayax
【变式3】下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）
A．xy=x2y2B．−x−yx+y=−1
C．xy=x+zy+zD．x+yx2−y2=1x+y
题型02 判断分式的倍数变化
【典例1】如果分式x+y3xy中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．缩小为原来的13B．不变
C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍
【变式1】如果把分式x−y3y中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．缩小为原来的13
C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的6倍
【变式2】若把分式3xyx−y中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的3倍
C．不变D．缩小为原来的6倍
【变式3】若分式x2x−y中，x、y都扩大为原来的2倍，则该分式的值（ ）
A．不变B．扩大到原来的2倍
C．扩大到原来的4倍D．缩小到原来的12
题型03 判断最简分式
【典例1】下列分式中是最简分式的是（ ）
A．2x4x2B．x−yx+y
C．x2+2x+1x+1D．1−xx−1
【变式1】分式a−xa+x，x−yx2−y2，a+ba2+2ab+b2，a2+b2a+b中最简分式的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】从2，a2﹣4，a+2中任选两个代数式，组成一个最简分式 ．
题型04 分式的约分
【典例1】约分：
（1）4a2c−2ab； （2）24x3y2−36x2y4； （3）x2−4xy4xy2−x2y； （4）a2+aba2+2ab+b2．
【变式1】约分：
（1）−9a2bc36ab2c； （2）a3+a2bb3+ab2 （3）a2−b23b−3a； （4）x2−16x2−8x+16．
题型05 判断分式的最简公分母
【典例1】分式2ac，1ab的最简公分母是（ ）
A．2abcB．a2bcC．abcD．2a2bc
【变式1】分式22x−4，32x的最简公分母是（ ）
A．2xB．2x（2x﹣4）C．2x﹣4D．2x（x﹣2）
【变式2】1a2−ab与1a2+ab的最简公分母是（ ）
A．a（a+b）B．a（a﹣b）
C．a（a+b）（a﹣b）D．a2（a+b）（a﹣b）
【变式3】分式1x−2，23x+6，3x3−4x的最简公分母是 ．
题型06 分式的通分
【典例1】通分
（1）1a，1b； （2）1x2−y2，1x2−2xy+y2．
【变式1】通分：
（1）3a5b2c与7c10a2b； （2）x2+2x与1x2−x．
【变式2】通分：
（1）12x3y，43xz2，54xz； （2）x1−a，y(a−1)2，z(1−a)3；
（3）2m9m+15n，3n6m−10n，2m+525n2−9m2； （4）aa2−4a+4，b2a2−8a+8，c2a−4．
1．下列从左到右的变形正确的是（ ）
A．y2x2=yxB．yx=a2ya2x
C．y+ax+b=yxD．ayax=yx
2．根据分式的基本性质，分式−aa+b可变形为（ ）
A．aa+bB．a−a+bC．−aa+bD．−aa−b
3．将分式mnm−n中的m、n都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变B．是原来的3倍
C．是原来的9倍D．是原来的6倍
4．化简2x2y+2xy26x2y2=x+y()，括号内应填（ ）
A．6xyB．3yC．3xyD．3x
5．分式x2x2+x化简得xx+1，则x应满足的条件是（ ）
A．x＞0B．x＜0C．x≠0且x≠﹣1D．x≠﹣1
6．下列分式中是最简分式的是（ ）
A．63aB．2aa3+1C．a+1a2−1D．a2+2a4a
7．分式2x+3与分式2xx2−9的最简公分母是（ ）
A．（x+3）2B．（x﹣3）2
C．（x+3）（x﹣3）D．（x+3）（x2﹣9）
8．下列说法正确的是（ ）
A．当x≠3时，分式x−3x有意义
B．分式23a与1ab2的最简公分母是3a2b2
C．分式xy3x−2y中x，y都扩大3倍，分式的值不变
D．无论x为何值，3x2+1的值总为正数
9．分式3aa2−b2的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（ ）
A．6a（a﹣b）2（a+b）B．2（a﹣b）
C．6a（a﹣b）D．6a（a+b）
10．将分式11−a2与分式a+1a2−2a+1通分后，a+1a2−2a+1的分母变为（1+a）（1﹣a）2，则11−a2的分子变为（ ）
A．1﹣aB．1+aC．﹣1﹣aD．﹣1+a
11．利用分式基本性质变形可得1x−1=A(x−1)(x+1)，则整式A＝ ．
12．将分式aa2−1，12a−2通分时，需要把12a−2的分子、分母同时乘以 ．
13．小军在化简分式Δx2−1=x−1x+1时，Δ部分不小心滴上了墨水，请你推测，Δ的式子应该是 ．
14．将分式1a2−9和a3a−9进行通分时，分母a2﹣9可因式分解为 ，分母3a﹣9可因式分解为 ，因此最简公分母是 ．
15．已知a﹣b＝ab，那么2a+3ab−2ba−2ab−b的值是 ．
16．约分：
（1）10a3bc5a2b3c2； （2）2xy2−2x2yx2−2xy+y2．
17．通分：
（1）x(2x−4)2，16x−3x2，2xx2−4； （2）−18x4y，23x2y3z，56xz2．
18．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1．
（1）下列分式中，属于真分式的是
A、x2x−1 B、x−1x+1 C、−32x−1 D、x2+1x2−1
（2）将假分式m2+3m+1，化成整式和真分式的和的形式．

19．因为ab=−2，所以a＝﹣2b（第一步）
所以a2−2ab−3b2a2−6ab−7b2=(−2b)2−2(−2b)b−3b2(−2b)2−6(−2b)b−7b2=5b29b2=59．（第二步）
（1）回答问题：
①第一步运用了 的基本性质；
②第二步的解题过程运用了 的方法，5b29b2=59是对分式进行了 ．
（2）模仿材料解答：已知x3=y4=z5≠0，求x+y−zx−y+z的值．
20．给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例如，2x+4x2−4=2(x+2)(x+2)(x−2)=2x−2，则2x+4x2−4是“好看分式”．根据上述定义，解决问题．
（1）分式x+1x2−1、x+1x2+1，其中是“好看分式”的是 ．
（2）①若分式x+m2x2+4x（m为常数且m≠0）是一个“好看分式”，求m的值；
②若分式x−1x2+mx+2（m为常数且m≠0）是一个“好看分式”，求m的值；
（3）若分式x+mx2+4x+n（m、n为常数且mn≠0）是一个“好看分式”，且m、n都是正整数，直接写出m的所有可能结果．
教学目标
掌握分式的基本性质，并能够通过性质对分式进行熟练的变形。
掌握分式的约分和通分的方法，并能够运用分式的基本性质对分式进行熟练的通分和约分。
教学重难点
重点
分式的基本性质；
分式的约分与通分。
2. 难点
（1）判断分式的倍数变化；
（2）利用分式的基本性质约分和通分。