初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.1.2 分式的基本性质第2课时教案

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）18.1.2 分式的基本性质第2课时教案，共15页。教案主要包含了教学与建议等内容，欢迎下载使用。

●复习导入 1.问题：
(1)因式分解的方法有哪些？
(2)分式的基本性质是什么？
(3)什么是约分？什么是最简分数？
2．在 eq \f(1,2)， eq \f(10,4)， eq \f(25,5)， eq \f(77,100)中最简分数有 eq \f(1,2)， eq \f(77,100) .
3．计算： eq \f(1,3)＋ eq \f(3,5)＝ eq \f(14,15) ；1 eq \f(3,4)＋3 eq \f(1,2)＝ 5 eq \f(1,4) .
【教学与建议】教学：复习旧知识唤醒学生的知识体系，利用分数的约分和通分自然引入分式的约分和通分．建议：具体问题让学生自主探索，引导学生比较探究并充分讨论，归纳出分式约分和通分的步骤．
●类比导入 (1)分数 eq \f(3,5)， eq \f(1,10)， eq \f(5,12)的公分母是如何确定的？
(2)你能确定分数 eq \f(1,23·42·5)， eq \f(1,2·43·52)， eq \f(1,22·4·53)的公分母吗？
(3)若把(2)分数分母中的4，5用x，y来代替，则分式 eq \f(1,23x2y)， eq \f(1,2x3y2). eq \f(1,22xy3)的公分母如何确定呢？
(4)提问：你能概括出最简公分母的定义吗？
类比分数的通分，你能想出如何对分式进行通分吗？
填空：(1)利用分式的 基本性质 ，将分子和分母 同乘 适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式分别化成 与原来的分式相等的 同分母的分式，叫作分式的通分．
(2)一般取各分母的所有因式的 最高次幂的积 作公分母，它叫作最简公分母．
【教学与建议】教学：通过具体的例子，回忆分数的通分，再用类比的方法得出分式的通分．建议：激活学生原有的知识体系，让学生掌握类比的学习方法．
· 命题角度1 利用分式的基本性质将分式约分
约分的方法：(1)先确定分子、分母的公因式；(2)根据分式的基本性质，分子与分母都除以它们的公因式．
【例1】下列四个分式中，是最简分式的是(A)
A． eq \f(a2＋b2,a＋b) B． eq \f(x2＋2x＋1,x＋1) C． eq \f(2ax,3ay) D． eq \f(a2－b2,a－b)
【例2】约分：(1) eq \f(－3a3,a4)； (2) eq \f(12a3(y－x)2,27a(x－y))； (3) eq \f(x2－1,x2－2x＋1).
解：(1) eq \f(－3a3,a4)＝－ eq \f(3,a)；
(2) eq \f(12a3(y－x)2,27a(x－y))＝ eq \f(4a2(x－y),9)；
(3) eq \f(x2－1,x2－2x＋1)＝ eq \f((x＋1)(x－1),(x－1)2)＝ eq \f(x＋1,x－1).
· 命题角度2 求最简公分母
确定几个分式的最简公分母的方法：(1)系数：取各分母中系数的最小公倍数；(2)字母：取各分母中所有出现的字母或因式；(3)指数：相同字母或因式取最高次幂．
【例3】分式 eq \f(2,3a)， eq \f(a＋1,－2a)， eq \f(2a－1,4a2)的最简公分母是(C)
A．24a6 B．24a3 C．12a2 D．6a3
· 命题角度3 利用分式的基本性质将分式通分
通分的步骤是：(1)将各个分式的分母分解因式；(2)确定最简公分母；(3)原来各分式分子分母乘一个适当的整式，使各分式分母都化为最简公分母．
【例4】如果分式 eq \f(3a,a2－b2)的分母经过通分后变成2(a－b)2(a＋b)，那么分子应变为 (C)
A．6a(a－b)2(a＋b) B．2(a－b)
C．6a(a－b) D．6a(a＋b)
【例5】通分：(1) eq \f(x,3y)与 eq \f(3x,2y2)； (2) eq \f(x－y,2x＋2y)与 eq \f(xy,(x＋y)2)； (3) eq \f(2mn,4m2－9)与 eq \f(2m－3,2m＋3).
解：(1)最简公分母是6y2， eq \f(x,3y)＝ eq \f(2xy,6y2)， eq \f(3x,2y2)＝ eq \f(9x,6y2)；
(2)最简公分母是2(x＋y)2， eq \f(x－y,2x＋2y)＝ eq \f(x2－y2,2(x＋y)2)， eq \f(xy,(x＋y)2)＝ eq \f(2xy,2(x＋y)2)；
(3)最简公分母是(2m＋3)(2m－3)， eq \f(2m－3,2m＋3)＝ eq \f((2m－3)2,(2m＋3)(2m－3)).
· 命题角度4 利用整体思想求分式的值
根据分式的基本性质把分式进行适当变形，使变形后的分式出现已知条件的形式，然后把已知条件代入变形后的分式来求分式的值．
【例6】已知x＋ eq \f(1,x)＝－3，则分式x2＋ eq \f(1,x2)的值是(D)
A． eq \f(1,9) B．9 C． eq \f(1,7) D．7
高效课堂 教学设计
1．理解最简分式的定义，灵活运用分式的基本性质进行分式的约分．
2．理解最简公分母的定义，灵活运用分式的基本性质进行分式的通分．
▲重点
理解并掌握分式的基本性质，利用分式的基本性质对分式进行约分或通分．
▲难点
正确运用分式的基本性质对分式约分与通分．
◆活动1 新课导入
1．分式的基本性质是什么？
答：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．即 eq \f(A,B)＝ eq \f(A·C,B·C)， eq \f(A,B)＝ eq \f(A÷C,B÷C)，其中A，B，C(C≠0)是整式．
2．分式有意义的条件是什么？
答：分母不为0.
3．填空：(1) eq \f(3c,2ab)＝ eq \f(( 15ac ),10a2b)；
(2) eq \f(m＋n,m－n)＝ eq \f((m＋n)2,( m2－n2 ))(m＋n≠0)；
(3) eq \f(y＋1,( x ))＝ eq \f(xy＋x,x2).
◆活动2 探究新知
1．教材P142 思考．
提出问题：
(1)由 eq \f(3x2＋3xy,6x2)＝ eq \f(3x(x＋y),3x·2x)＝ eq \f(x＋y,2x)这一化简过程，你能说出什么是分式的约分吗？
(2)约分的一般步骤是什么？
(3)什么叫作最简分式？约分的目的是什么？
学生完成并交流展示．
2．教材P143 思考．
提出问题：
(1)什么叫作通分？什么叫作最简公分母？
(2)通分的关键是什么？
(3)如何找出最简公分母？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的 公因式 约去，叫作分式的 约分 .分子与分母没有公因式的分式，叫作 最简分式 .约去分子和分母所有的公因式所得的结果为 最简分式 或者 整式 .
2．根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式 相等 的 同分母 的分式，叫作分式的 通分 .通分时，取各分母的所有因式的 最高次幂的积 作公分母，它叫作 最简公分母 .
◆活动4 例题与练习
例1 教材P142 例4.
例2 教材P143 例5.
例3 先化简，再求值： eq \f(a2－4b2,a2－4b2＋a＋2b)，其中a，b满足a－2b－2＝0.
解：原式＝ eq \f(a－2b,a－2b＋1).∵a－2b－2＝0，∴a－2b＝2，∴原式＝ eq \f(2,3).
例4 小明从家到学校的路程为s m，无风时他骑车的速度为a m/s，如果风速为b m/s(a＞b＞0)，他顺风时从家到学校用多长时间？逆风时从家到学校用多长时间？分别用式子表示出来．如果两式的分母不同，要进行通分．
解：顺风速度为(a＋b)m/s，逆风速度为(a－b)m/s.
他顺风时从家到学校用时 eq \f(s,a＋b) s，他逆风时从家到学校用时 eq \f(s,a－b) s.
eq \f(s,a＋b)＝ eq \f(s(a－b),(a＋b)(a－b))， eq \f(s,a－b)＝ eq \f(s(a＋b),(a＋b)(a－b)).
练习
1．教材P144 练习第1，2题．
2．下列各式约分正确的是(B)
A． eq \f(－a＋b,a－b)＝1 B． eq \f((a－b)2,b－a)＝b－a
C． eq \f(m2－n2,m－n)＝m－n D． eq \f(a2－b2,a＋b)＝ eq \f(1,a－b)
3．将分式 eq \f(y,2x)， eq \f(y,3y2)， eq \f(1,4xy)通分，分母所乘的单项式依次为 6y2，4x，3y .
4．约分：
(1) eq \f(a2bc,ab)； (2) eq \f(－32a3b2c,24a2b3d).
解：(1)公因式为ab，∴ eq \f(a2bc,ab)＝ac；
(2)公因式为8a2b2，∴ eq \f(－32a3b2c,24a2b3d)＝－ eq \f(4ac,3bd).
5．通分：
(1) eq \f(1,2ab3)与 eq \f(2,5a2b2c)； (2) eq \f(c,3a2b)与 eq \f(1,8a3bc3).
解：(1)最简公分母是10a2b3c.
eq \f(1,2ab3)＝ eq \f(5ac,2ab3·5ac)＝ eq \f(5ac,10a2b3c)， eq \f(2,5a2b2c)＝ eq \f(2·2b,5a2b2c·2b)＝ eq \f(4b,10a2b3c)；
(2)最简公分母是24a3bc3.
eq \f(c,3a2b)＝ eq \f(c·8ac3,3a2b·8ac3)＝ eq \f(8ac4,24a3bc3)， eq \f(1,8a3bc3)＝ eq \f(3,8a3bc3·3)＝ eq \f(3,24a3bc3).
◆活动5 课堂小结
1．最简分式、最简公分母的概念．
2．分式的约分与通分．
1．作业布置
(1)教材P145 习题18.1第6，7，8，9，10题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思