数学八年级上册（2024）18.2 分式的乘法与除法精品课后复习题

这是一份数学八年级上册（2024）18.2 分式的乘法与除法精品课后复习题，共9页。

知识点01 分式的乘除
分式的乘法：
乘法运算法则：
同分数的乘法运算法则，分子乘 分子 作为积的分子，分母乘 分母 作为积的分母。
即： 。
（2）具体步骤：
①对能 因式分解 的分子分母进行因式分解。
②分子分母有 公因式 的要先约分，所有的分母可以和所有的分子进行约分。
③再用分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。
分式的除法：
除法运算法则：
除以一个分式等于乘上这个分式的 倒数式 。变成乘法运算。
即： ＝ 。
分式的乘除混合运算：
分式的乘除混合运算，可以统一为 乘法 运算。最后的结果一定是 最简分式 或 整式 。
【即学即练1】
1．计算：
（1）3xy−7m•28mn9xy2；（2）18x2y5a3b2•25a2b3−12xy2；（3）2a−35a•10b6ab−9b；（4）a−35a−2•10a−4a2−9．
【答案】（1）−4n3y．（2）−15xb2ya．（3）23a．（4）2a+3．
【解答】解：（1）原式=−84xymn63xy2m
=−4n3y．
（2）原式=−18×25x2ya2b35×12xy2a3b2
=−15xb2ya．
（3）原式=2a−35a•10b3b(2a−3)
=23a．
（4）原式=a−35a−2•2(5a−2)(a+3)(a−3)
=2a+3．
【即学即练2】
2．计算：
（1）12xy5a÷8x2y；（2）a2−1a2+4a+4÷a+1a+2；（3）(xy−x2)÷x−yxy；（4）x3−2x2+4xx2−4x+4÷x2−2x+4x−2．
【答案】（1）310ax；（2）a−1a+2；（3）﹣x2y；（4）xx−2．
【解答】解：（1）12xy5a÷8x2y
=12xy5a⋅18x2y
=310ax；
（2）a2−1a2+4a+4÷a+1a+2
=(a−1)(a+1)(a+2)2⋅a+2a+1
=a−1a+2；
（3）(xy−x2)÷x−yxy
＝﹣x（x﹣y）⋅xyx−y
＝﹣x2y；
（4）x3−2x2+4xx2−4x+4÷x2−2x+4x−2
=x(x2−2x+4)(x−2)2⋅x−2x2−2x+4
=xx−2．
【即学即练3】
3．计算：
（1）2x+2y5a2b•10ab2x2−y2；（2）x2+xx2+2x+1÷x；（3）a2−1a2+4a+4÷（a+1）•4−a2a−1；（4）（xy﹣x2）÷x−yxy．
【答案】（1）4ba(x−y)．（2）1x+1．（3）2−aa+2．（4）﹣x2y．
【解答】解：（1）2x+2y5a2b•10ab2x2−y2=2(x+y)5ab⋅a•5ab⋅2b(x+y)(x−y)=4ba(x−y)=4bax−ay．
（2）x2+xx2+2x+1÷x=x(x+1)(x+1)2•1x=1x+1．
（3）a2−1a2+4a+4÷（a+1）•4−a2a−1=(a+1)(a−1)(a+2)2•1a+1•(2+a)(2−a)a−1=2−aa+2．
（4）（xy﹣x2）÷x−yxy=−x（x﹣y）•xyx−y=−x2y．
知识点03 分式的乘方
分式的乘方的运算法则：
一般地，当n为正整数时， 。即把分式的分子分母分别乘方运算。
【即学即练1】
4．下列计算正确的是（ ）
A．（b32a）2=b62a2B．（−3b2a）2=−9b24a2C．（2y−3x）3=8y3−27x3D．（3xx−a）2=9x2x2−a2
【答案】C
【解答】解：A、(b32a)2=b64a2，本选项错误；
B、(−3b2a)2=9b24a2，本选项错误；
C、(2y−3x)3=23y3(−3)3x3=8y3−27x3，本选项正确；
D、(3xx−a)2=9x2x2−2ax+a2，本选项错误．
所以计算结果正确的是C．
故选：C．
题型01 分式的乘除运算
【典例1】计算81−a2a2+6a+9÷a−92a+6⋅a+3a+9的结果为（ ）
A．12B．1C．﹣1D．﹣2
【答案】D
【解答】解：81−a2a2+6a+9÷a−92a+6⋅a+3a+9
=−(a+9)(a−9)(a+3)2•2(a+3)a−9•a+3a+9
＝﹣2．
故选：D．
【变式1】计算：
（1）2x23y2⋅5y6x÷10y21x2； （2）x+2x2−6x+9÷13−x⋅x−3x+2．
【答案】（1）7x36y2；
（2）﹣1．
【解答】解：（1）原式=2x23y2⋅5y6x⋅21x210y
=7x36y2；
（2）原式=x+2(x−3)2⋅(3−x)⋅x−3x+2
＝﹣1．
【变式2】计算：
（1）xx2−y2÷12x−2y⋅x+yx； （2）x2−4y2x2+2xy+y2÷x−2yx+y；
（3）x2−1x2+2x+1÷2x2−24x2+8x+4÷(x−1)2； （4）a+2a2−2a+1⋅a2−4a+4a+1÷a2−4a2−1．
【答案】（1）2；（2）x+2yx+y；（3）2(x−1)2；（4）a−2a−1．
【解答】解：（1）原式=x(x+y)(x−y)÷12(x−y)⋅x+yx
=x(x+y)(x−y)⋅2(x−y)⋅x+yx
＝2；
（2）原式=(x+2y)(x−2y)(x+y)2⋅x+yx−2y
=x+2yx+y；
（3）原式=(x+1)(x−1)(x+1)2÷2(x+1)(x−1)4(x+1)2×1(x−1)2
=(x+1)(x−1)(x+1)2×4(x+1)22(x+1)(x−1)×1(x−1)2
=2(x−1)2；
（4）原式=a+2(a−1)2×(a−2)2a+1×(a+1)(a−1)(a+2)(a−2)
=a−2a−1．
题型02 分式的乘方运算
【典例1】计算(−yx)2的结果是（ ）
A．y2xB．y2x2C．−y2x2D．2yx2
【答案】B
【解答】解：原式=y2x2．
故选：B．
【变式1】化简（−2a23b）2的结果是（ ）
A．−4a29b2B．4a29b2C．−4a49b2D．4a49b2
【答案】D
【解答】解：原式=(−2a2)2(3b)2=4a49b2．
故选：D．
【变式2】计算：(3y−2x)2⋅(2x3y)3的结果是（ ）
A．x3yB．−x3yC．2x3yD．−2x3y
【答案】C
【解答】解：原式=9y24x2×8x327y3
=2x3y．
故选：C．
【变式3】化简(−b26a)2÷(b2a)3的结果是（ ）
A．ab6B．2ab9C．29abD．b3
【答案】B
【解答】解：(−b26a)2÷(b2a)3
=b436a2÷b38a3
=b436a2×8a3b3
=2ab9，
故选：B．
题型03 分式的乘除与乘方的混合运算
【典例1】计算：(y3x)2⋅(x−y)3÷(x2yx)2= −yx ．
【答案】−yx．
【解答】解：原式=y6x2⋅(x3−y3)÷(x4y2x2)
=y6x2⋅(−x3y3)⋅x2x4y2
=−yx．
【变式1】计算：(−xy2)2⋅(−y2x)3÷(−yx)4．
【答案】−x3y2．
【解答】解：原式=x2y4⋅(−y6x3)÷y4x4=−x2y4⋅y6x3⋅x4y4=−x3y2．
故答案为：−x3y2．
【变式2】计算：(−b2a)2÷(ba)⋅(−3b4a)3⋅(4a3b)2．
【答案】−3b216a2．
【解答】解：(−b2a)2÷(ba)⋅(−3b4a)3⋅(4a3b)2
=b24a2•ab•−27b364a3•16a29b2
=−b24a2⋅ab⋅27b364a3⋅16a29b2
=−3b216a2．
【变式3】计算：
（1）b2a⋅8a3b2； （2）(2ab3−c2d)2÷6a2b3⋅(−2cb2)3； （3）2x−6x2−4x+4÷3−x4x2−16⋅(x−2x+2)2．
【答案】（1）43b；
（2）−16b33cd2；
（3）−8x−16x+2．
【解答】解：（1）原式=8ab6ab2=43b；
（2）原式=4a2b6c4d2⋅b36a2⋅−8c3b6
=−16b33cd2；
（3）原式=2(x−3)(x−2)2⋅4(x−2)(x+2)(3−x)⋅(x−2)2(x+2)2
=−8x−16x+2．
题型04 求运算中的未知部分
【典例1】若Ma+b÷aa2−b2运算的结果不是分式，则M不可能的是（ ）
A．abB．a2C．a2﹣abD．1a
【答案】D
【解答】解：∵Ma+b÷aa2−b2
=Ma+b÷aa2−b2
=Ma+b×a2−b2a
=Ma+b×(a−b)(a+b)a
=M(a−b)a，
∴化简结果为M(a−b)a，
要使运算结果不是分式，即结果为整式，那么分母a必须被约掉，所以M必须含有因子a，
A、当M＝ab时，ab(a−b)a=b(a−b)，是整式，不符合题意；
B、当M＝a2时，a2(a−b)a=a(a−b)，是整式，不符合题意；
C、当M＝a2﹣ab＝a（a﹣b）时，a(a−b)(a−b)a=(a−b)2，是整式，不符合题意；
D、当M=1a时，1a(a−b)a=a−ba2，是分式，符合题意．
故选：D．
【变式1】美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即4−x23x2−2xy÷■，通过查看答案，得知答案为x+23x−2y，则被污染的式子为（ ）
A．2x+2B．x−2xC．2−xxD．x+12x−1
【答案】C
【解答】解：4−x23x2−2xy÷x+23x−2y
=(2−x)(2+x)x(3x−2y)⋅3x−2yx+2
=2−xx，
故选：C．
【变式2】如果■xy+y÷x2x+2的运算结果为整式，则被遮挡的式子可能是（ ）
A．x3B．3xyC．5yD．x+y
【答案】B
【解答】解：设被遮挡的式子为t，
则txy+y÷x2x+2=ty(x+1)÷x2(x+1)=ty(x+1)⋅2(x+1)x=txy，
∵原式的运算结果为整式，
∴t中一定含有xy的单项式，
∴只有B选项符合题意．
故选：B．
【变式3】化简分式x3−xx2−2x+1×（ ）的结果为单项式，则“（ ）”上填的式子可以是（ ）
A．x−1xB．x−1x+1C．x+1x−1D．xx−1
【答案】B
【解答】解：将选项逐个代入分式计算可得：
结果不是单项式，所以A不符合题意；
结果是单项式，所以B符合题意；
结果不是单项式，所以C不符合题意；
结果不是单项式，所以D不符合题意．
故选：B．
1．计算(−2ac)2的结果正确的是（ ）
A．a4c2B．−4a2c2C．4a2c2D．4a22c2
【答案】C
【解答】解：根据分式的乘方运算法则可得：
(−2ac)2=4a2c2，
故选：C．
2．下列代数式中计算的结果等于a的是（ ）
A．a÷1a÷aB．a÷(1a÷a)C．a÷1a⋅aD．(a÷1a)⋅a
【答案】A
【解答】解：A、a÷1a÷a=a⋅a÷a=a2÷a=a，故此选项符合题意；
B、a÷(1a÷a)=a÷(1a⋅1a)=a÷1a2=a⋅a2=a3，故此选项不符合题意；
C、a÷1a⋅a=a⋅a⋅a=a3，故此选项不符合题意；
D、(a÷1a)⋅a=(a⋅a)⋅a=a2⋅a=a3，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．若A=xx2−9，B=2xx−3，则A÷B的值可能为（ ）
A．112B．16C．12D．0
【答案】C
【解答】解：A÷B=xx2−9÷2xx−3=x(x+3)(x−3)•x−32x=12(x+3)，
由题意可知：x≠±3、0，
则A÷B的值不可能为112、16、0，
当x＝﹣2时，A÷B的值为12，
故选：C．
4．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（ ）
A．三个人都正确B．甲有错误
C．乙有错误D．丙有错误
【答案】C
【解答】解：乙的分子由2﹣x变成了x﹣2，也就是分子乘了﹣1，
而分母和分式本身的符号并没有发生变化，
所以乙有错误．
故选：C．
5．若()a+b÷aa2−b2运算的结果不是分式，则“（ ）”内的式子可能是（ ）
A．abB．a+bC．a﹣bD．1a
【答案】A
【解答】解：()a+b÷aa2−b2
=()a+b⋅(a+b)(a−b)a
∵运算的结果为不是分式，
∴“（ ）”内的式子一定有a的单项式，
∴只有A项符合，
故选：A．
6．若化简x2x2−2x+1÷xx−3+m的结果为xx−1，则m的值是（ ）
A．﹣4B．4C．﹣2D．2
【答案】D
【解答】解：x2x2−2x+1÷xx−3+m=x2(x−1)2⋅x−3+mx，
∵其结果为xx−1，
∴x﹣3+m＝x﹣1，
解得：m＝2．
故选：D．
7．若分式Px+1÷x−2x可进行约分化简，则整式P不可以是（ ）
A．x﹣2B．x（x﹣2）C．xD．x2﹣4
【答案】C
【解答】解：A、当P＝x﹣2时，
x−2x+1÷x−2x
=x−2x+1×xx−2
=xx+1，不符合题意；
B、当P＝x（x﹣2）时，
x(x−2)x+1÷x−2x，
=x(x−2)x+1×xx−2
=x2x+1，选项不符合题意；
C、当P＝x时，
xx+1÷x−2x
=xx+1×xx−2不能约分化简，选项符合题意；
D、当P＝x2﹣4时，
x2−4x+1÷x−2x
=x2−4x+1×xx−2
=x(x+2)x+1，选项不符合题意．
故选：C．
8．若x2+1x−1÷x3+x□的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是（ ）
A．1x2−1B．x2﹣1C．x2﹣xD．x﹣1
【答案】C
【解答】解：设“口”中的式子为M，
原式=x2+1x−1•Mx(x2+1)
=Mx(x−1)，
所以当M＝x2﹣x＝x（x﹣1）时，
原式=x(x−1)x(x−1)=1，结果为整式．
故选：C．
9．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，即（4−x23x2−2xy）÷，通过查看答案，答案为x+23x−2y，则被污染的代数式为（ ）
A．2x+1B．x−2xC．2−xxD．x+12x−1
【答案】C
【解答】解：由题意得：4−x23x2−2xy÷x+23x−2y
=(2+x)(2−x)x(3x−2y)⋅3x−2yx+2
=2−xx，
∴被污染的代数式为2−xx，
故选：C．
10．代数式x−2x2−4x+4÷1x+6（x为整数）的值为F．则F为整数值的个数有（ ）
A．0个B．7个C．8个D．无数个
【答案】B
【解答】解：x−2x2−4x+4÷1x+6
=x−2(x−2)2×(x+6)
=x+6x−2
=x−2+8x−2
=1+8x−2，
∵代数式x−2x2−4x+4÷1x+6的值为F，且F为整数，
∴8x−2为整数，
∴x﹣2的值为：1，2，4，8，﹣1，﹣2，﹣4，共7个，
∴对应的F值有7个．
故选：B．
11．(ab2c)2⋅(−c2ab)3÷(bca)2= −ac2b ．
【答案】−ac2b．
【解答】解：(ab2c)2⋅(−c2ab)3÷(bca)2
=a2b4c2⋅(−c6a3b3)⋅a2b2c2=−ac2b
故答案是：−ac2b．
12．若满足a−4a+1⋅|a+2|=a−4a+1，则a＝ ﹣3 ．
【答案】﹣3或4．
【解答】解：∵a−4a+1⋅|a+2|=a−4a+1，
∴|a+2|=a−4a+1÷a−4a+1=a−4a+1⋅a+1a−4=1，a﹣4＝0，
∴a+2＝±1，a＝4，
解得：a＝﹣1或﹣3或4，
∵a＝﹣1时，分式无意义，
∴a＝﹣3或4，
故答案为：﹣3或4．
13．若3xx2−y2÷A=1x+y，则A等于 3xx−y ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵3xx2−y2÷A=1x+y，
∴A=3xx2−y2÷1x+y
=3x(x+y)(x−y)⋅(x+y)
=3xx−y，
故答案为：3xx−y．
14．已知分式x2−1x乘一个分式后结果为−(1−x)2x2，那么这个分式为 −x−1x2+x ．
【答案】−x−1x2+x．
【解答】解：分式x2−1x乘一个分式后结果为−(1−x)2x2，
−(1−x)2x2÷x2−1x
=−(x−1)2x2⋅x(x+1)(x−1)
=−x−1x⋅1x+1
=−x−1x2+x，
故答案为：−x−1x2+x．
15．若mn＞0．则m|m|+|n|n+|mn|mn= 3或﹣1 ．
【答案】3或﹣1．
【解答】解：∵mn＞0，
∴m与n同号，即m＞0，n＞0或m＜0，n＜0．
当m＞0，n＞0，则m|m|+|n|n+|mn|mn=mm+nn+mnmn=1+1+1＝3．
当m＜0，n＜0，则m|m|+|n|n+|mn|mn=m−m+−nn+mnmn=−1﹣1+1＝﹣1．
综上：m|m|+|n|n+|mn|mn=3或﹣1．
故答案为：3或﹣1．
16．已知A=x+1x−1，B=x−1x2−2x+1，C=x−22x−4．先在A，B，C中任选2个分式用除号“÷”连接并进行化简，再从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】见解析．
【解答】解：选A÷B
A÷B=x+1x−1÷x−1x2−2x+1
=x+1x−1×x2−2x+1x−1，
∵x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴原式=x+1x−1×(x−1)2x−1=x+1，
x不能取1（使原分式分母为0），当x＝0时，A÷B＝0+1＝1；当x＝2时，A÷B＝2+1＝3．
17．计算：
（1）a+bab−b2÷[−ab+b2(a−b)2]； （2）(1−x)2x(1−x2)⋅xy+x2yx−x2；
（3）x2+xyx2−xy÷（x+y）÷xyy2−xy； （4）a2−1a2−4⋅a+2a2−2a+1⋅a2−4a+4a+1．
【答案】（1）b−ab2；（2）yx；（3）−1x；（4）a−2a−1．
【解答】解：（1）a+bab−b2÷[−ab+b2(a−b)2]
=a+bb(a−b)×[−(a−b)2b(a+b)]
=b−ab2；
（2）(1−x)2x(1−x2)⋅xy+x2yx−x2
=1−x2x(1−x)(1+x)•xy(1+x)x(1−x)
=yx；
（3）x2+xyx2−xy÷(x+y)÷xyy2−xy
=x(x+y)x(x−y)×1x+y×y(y−x)xy
=−1x；
（4）原式=(a+1)(a−1)(a+2)(a−2)×a+2(a−1)2×(a−2)2a+1=a−2a−1．
18．聪聪在做作业时发现一道题有一部分被墨滴遮住了，如图所示：
（1）聪聪猜测，墨滴遮住的内容是“2a”，请你根据聪聪的猜测完成计算；
（2）第二天，聪聪的同桌告诉她，这道题被墨滴遮住的是一个二次二项式，并且这道题的标准答案是1a−2，请你通过计算说明墨滴遮住的内容是什么．
【答案】（1）a+1a−2；
（2）2a2﹣2a．
【解答】解：（1）2a−1÷2a−4a2−1
=2a−1⋅a2−12a−4
=2a−1⋅(a+1)(a−1)2(a−2)
=a+1a−2；
（2）设墨滴遮住的内容是M，则2a−1÷M−4a2−1=1a−2，
∴2a−1÷1a−2=2a−1⋅a−21=2(a−2)a−1，
∴M−4a2−1=2(a−2)a−1，
∴M﹣4=2(a−2)a−1⋅(a+1)(a−1)
＝2（a﹣2）（a+1）
＝2（a2+a﹣2a﹣2）
＝2a2﹣2a﹣4
∴M＝2a2﹣2a﹣4+4＝2a2﹣2a
∴墨滴遮住的内容是2a2﹣2a．
19．如图，将长、宽分别为a、b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形，已知拼成的大正方形面积为49，中间的小正方形的面积为1．
求(a4−b4)÷a2+b2ab÷(6a−6b)的值．
【答案】14．
【解答】解：由题意得，（a+b）2＝49，（a﹣b）2＝1，a＞0，b＞0，a＞b，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝48，a+b＝7，
∴a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝48，
∴ab＝12，
∴原式＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）×aba2+b2×16(a−b)
=ab(a+b)6
=12×76
＝14．
20．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（6x2+7x+2）÷（2x+1），仿照672÷21计算如下：
因此，（6x2+7x+2）÷（2x+1）＝3x+2．
（1）阅读上述材料后，试判断x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，并说明理由；
（2）利用上述方法解决：若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求(ba)3的值．
【答案】（1）x3﹣x2﹣5x﹣3能被x+1整除，理由见解析部分；
（2）−18．
【解答】解：（1）x3﹣x2﹣5x﹣3能被x+1整除，理由如下：
∴（x3﹣x2﹣5x﹣3）÷（x+1）＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，
∴a+9＝﹣3，b＝6，
即a＝﹣12，b＝6，
∴(ba)3=（−12）3=−18．
教学目标
掌握分式的乘法和除法的运算法则，并能够在分式的乘除运算中熟练的应用。
掌握分式的乘方运算法则，并能够在分式的乘方运算中熟练应用。
教学重难点
重点
分式的乘除法运算；
分式的乘方运算。
2. 难点
（1）求分式的乘除法运算；
（2）分式的乘方运算；
（3）分式的乘除法与乘方的混合运算及求运算中的未知部分。