专题十二　[提升]旋转的综合应用课件 2026-2027学年数学人教版九年级上册

这是一份专题十二　[提升]旋转的综合应用课件 2026-2027学年数学人教版九年级上册，共25页。
专题十二　[提升]旋转的综合应用1.已知在等腰Rt△ABC与等腰Rt△ADE中,∠ABC=∠ADE=90°,AD=4,连接CE,点M为线段CE的中点,连接DM.(1)如图1,当点D恰好为线段AB的中点时,求线段DM的长度;    (1)如图1,当∠BAC=90°时,探究如下:由∠BAC=90°,AB=AC可知,将△ACN绕点A顺时针旋转90°得到△ABP,则CN=BP且∠PBM=90°,连接PM.易证△AMP≌△AMN,可得MP=MN.在Rt△PBM中,BM2+BP2=MP2,则有BM2+NC2=MN2.(2)当∠BAC=60°时,如图2;当∠BAC=120°时,如图3.分别写出此时线段BM,MN,NC之间的数量关系,并选择图2或图3进行证明. 图3的结论是:BM2+NC2-BM·NC=MN2.证明略.提示:如答案图2,将△ACN绕点A顺时针旋转120°得到△ABQ,连接QM,过点Q作QH⊥BC于点H.3.(1)如图1,O是等边△ABC内一点,连接OA,OB,OC,且OA=3,OB=4,OC=5.将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD,连接OD.①线段OD的长为　 　;解:(1)①由旋转可得△ABO≌△CBD,∴BO=BD,AO=CD,∠ABO=∠CBD.∵△ABC是等边三角形,∴∠OBD=∠ABC=60°,∴△BOD是等边三角形,∴OD=BO=4.4②求∠BDC的度数;②由①可得,OD=BO=4,CD=AO=3,∠BDO=60°.在△ODC中,OD=4,CD=3,CO=5,∴OD2+CD2=CO2,∴∠ODC=90°,∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=150°.(2)如图2,O是等腰Rt△ABC(∠ABC=90°)内一点,连接OA,OB,OC.将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD,连接OD.当OA,OB,OC满足什么条件时,∠ODC=90°?并给出证明. 4.已知△ABC,△BDE都是等边三角形,△BDE可以绕点B旋转.(1)如图1,F为DE边上一点,连接AF,BF,CF,当CF=BC且AF∥BE时,求∠EBF的度数;(1)解:∵△ABC,△BDE都是等边三角形,∴∠BED=∠ABC=∠ACB=60°,CA=CB.∵CF=BC,∴CB=CF=CA,∴∠CBF=∠CFB,∠CAF=∠CFA,∴2∠CFB+2∠CFA=360°-60°=300°,∴∠CFB+∠CFA=150°,即∠AFB=150°.∵AF∥BE,∴∠AFE=∠BED=60°,∴∠BFE=∠AFB-∠AFE=90°,∴∠EBF=90°-∠BEF=30°.(2)如图2,连接AD并延长交BC于点M,N为AC延长线上一点,连接BN,连接CE并延长交BN于点G.若G为BN的中点,求证:BM=CN;(2)证明:如答案图1,过点B作BH∥CN交CG的延长线于点H.∵BH∥CN,∴∠N=∠HBG.又∵NG=BG,∠NGC=∠BGH,∴△NGC≌△BGH(ASA),∴CN=BH.∵∠ABC=∠DBE=60°,∴∠ABD=∠CBE.又∵BA=BC,BD=BE,∴△ABD≌△CBE(SAS),∴∠BAM=∠BCH.∵BH∥AN,∴∠CBH=∠ACB=60°,∴∠ABM=∠CBH.又∵BA=BC,∴△BAM≌△BCH(ASA),∴BM=BH,∴BM=CN.(3)如图3,在等边△ABC内部,若AB=6,是否存在一点P,使得AP+BP+CP取得最小值?若存在,直接写出最小值;若不存在,请说明理由. 5.如图1,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=100°,D是BC的中点,连接AD.小明对图1进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到△BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:(1)当点E在直线AD上时,如图2所示.①∠BEP=　 　;②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是　 ;50°CE∥AB　(2)请在图3中画出△BPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE.试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由; (3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.(3)如答案图,过点A作AH⊥CE于点H,则∠BAH=90°>80°,∴点E在点H左侧运动,分析可知,当点P运动到与点A重合时,AE的值最小,此时AE的最小值为AB=3.6.如图1,在△ABE和△ACD中,AB=AE,AC=AD,且∠BAE=∠CAD,则可证得△AEC≌△ABD.(1)【初步探究】如图2,△ABC为等边三角形,过点A作AC的垂线l,点P为直线l上一动点(不与点A重合),连接CP,把线段CP绕点C按逆时针方向旋转60°得到线段CQ,连接BQ.请写出AP与BQ的数量关系,并说明理由;解:(1)AP=BQ.理由如下:在等边△ABC中,AC=BC,∠ACB=60°.由旋转可得,CP=CQ,∠PCQ=60°,∴∠ACB=∠PCQ,∴∠ACP=∠BCQ,∴△ACP≌△BCQ(SAS),∴AP=BQ.  (3)【拓展探究】如图4,在△ABC中,∠ACB=45°,以AB为直角边,A为直角顶点向外作等腰Rt△ABD,连接CD.若AC=1,BC=3,则CD的长为  　.  7.如图,将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转,得到矩形AEFG,点E正好落在边CD上,连接BE,BG,且BG交AE于点P.  (2)求证:BG=2BP;(2)证明:如图,过点B作BH⊥AE于点H,则∠C=∠BHE=90°.由(1)可得∠ABE=∠AEB.∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CE,∴∠ABE=∠BEC,∴∠BEC=∠BEH,即EB平分∠CEH,∴BH=BC.由旋转的性质,得AG=AD=BC,∠GAP=∠BAD=90°,∴AG=HB,∠GAP=∠BHP=90°.又∵∠APG=∠HPB,∴△APG≌△HPB(AAS),∴GP=BP,∴BG=2BP.    9.【综合与实践】【问题提出】在一次综合与实践活动中,某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心点O处,并绕点O旋转,现探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况.【操作发现】将直角三角板的直角顶点放在点O处,在旋转过程中:(1)若正方形的边长为4,当直角三角板的一条直角边与正方形的对角线重合时,重叠部分的面积为　 　;当直角三角板的一条直角边与正方形的一边垂直时,重叠部分的面积为　 　;44(2)若正方形的面积为S,重叠部分的面积为S1,在旋转过程中S1与S的关系为　 ;