培优精练23 旋转综合题课件-新人教九年级数学上册

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第二十八章　旋转培优精练23　旋转综合题(福建热点)(2026厦门双十中学月考)已知△ABC，△ADE都是等边三角形.(1)如图1，将△ADE绕点A逆时针旋转，D在△ABC内，连接BD，CE，求证：BD＝CE.解：证明：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°.∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD＝CE.(2)如图2，若∠AEC＝n°，ED的延长线交BC于点P，探究：n为何值时，P恰好是BC的中点？请证明你的结论.解：n＝90时，P恰好是BC的中点.证明：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠AED＝60°.如备用图，延长EP至点F，使得PF＝DP.∵P是BC的中点，∴BP＝PC.又∠BPD＝∠CPF，∴△BPD≌△CPF(SAS).∴CF＝BD，∠PCF＝∠DBP.由(1)，得△ABD≌△ACE(SAS).∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE.∴CE＝CF.∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACB＋∠PCF＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBP＝∠ACB＋∠ABC＝120°. ∵∠AED＝60°，∴∠AEC＝∠AED＋∠FEC＝60°＋30°＝90°.∴n＝90.  (2026福州文博中学月考)如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD.点F在线段BD上，连接CF交AE于点H.(1)①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；解：∠CAE＝∠CBD.证明：在△CAE和△CBD中， ∴△CAE≌△CBD(SAS).∴∠CAE＝∠CBD.②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF.解：证明：∵CF⊥AE，∴∠CAE＋∠ACF＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＋∠ACF＝90°.∴∠BCF＝∠CAE.∵△CAE≌△CBD，∴∠CBD＝∠CAE，AE＝BD.∴∠BCF＝∠CBD.∵∠CBD＋∠CDB＝90°，∠BCF＋∠DCF＝90°，∴∠CDF＝∠DCF.∴CF＝BF＝DF.∴BD＝2CF，即AE＝2CF.(2)将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，如图2.若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.解：若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立.证明：延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，如图2所示.∵F是BD的中点，∴DF＝BF.在△CDF和△GBF中， ∴△CDF≌△GBF(SAS).∴CD＝BG，∠DCF＝∠G.∴CD∥BG.∴∠DCB＋∠CBG＝180°.∵△CDE绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)，∴∠ACD＝∠BCE＝α.∴∠DCB＝90°－α，∠ACE＝90°＋α.∵∠CBG＝180°－∠DCB＝90°＋α，∴∠ACE＝∠CBG.在△ACE和△CBG中， ∴△ACE≌△CBG(SAS).∴AE＝CG.∵FG＝FC，∴AE＝CG＝2CF.