初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.1 一元二次方程的概念图文课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.1 一元二次方程的概念图文课件ppt，共36页。PPT课件主要包含了学习目标，课堂小结，当堂小练，拓展与延伸，新课导入，对接中考，知识回顾，一元一次方程，新课讲解，一元二次方程的定义等内容，欢迎下载使用。
4. 知识点1一元二次方程的概念
5. 知识点2一元二次方程的一般形式
6. 知识点3一元二次方程的解（根）
1. 能根据具体问题中的数量关系列一元二次方程，经历由具体问题列一元二次方程的过程，建立模型观念.2. 理解一元二次方程的定义及其一般形式，会将一元二次方程化为一般形式，并能说出各项的名称.3. 理解一元二次方程的根的意义，会检验一个数是不是一元二次方程的根.
一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.
判断下列式子是否是一元一次方程：
(1) 只有一个未知数
(2) 未知数的指数是一次
(3) 方程的两边都是整式
在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？
解：雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系：AC∶BC=BC∶5，即BC2=5AC.设雕像腰部以下的身长BC为x m，根据上述等量关系，可以列出方程 x2=5(5-x)，整理得 x2+5x-25=0.解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长.
知识点1 一元二次方程的概念
如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?
分析：要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为 cm，则盒底的宽为 cm，盒底的长为 cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2，可列方程为 .
(100-2x)(50-2x)=3600
你能把它整理成形如x2+bx+c=0的形式吗？
(100-2x)(50-2x)=36005000－100x－200x+4x2=3600 4x2－300x+1400=0 x2－75x+350=0
要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？
(1)方程中含有未知数的式子都是整式；(2)方程中只含有一个未知数；(3)方程中未知数的最高次数是2.
以下方程有什么共同点？ x2+5x-25=0， x2-75x+350=0， x2-x-56=0.
一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.
一是只含有一个未知数；二是整式方程；三是未知数的最高次数是 2．
分母或根号内不含未知数
一元二次方程的“三要素”
最高次数是2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如(m-2)x2+3x-8=0不一定是一元二次方程.
符合一元二次方程的概念；
整理，得x2+2x−1=0，符合一元二次方程的概念；
含有未知数的式子不都是整式；
未知数的最高次数是 3；
当 m=0 时，未知数的最高次数是 1；
判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键
观察含有未知数的式子是否为整式
使方程的右边为0，左边合并同类项
观察是否满足“一元”和“二次”
2. 如果方程(m－3)xm2－7－x ＋3＝0是关于x一元二次方程，那么m的值为(　 　)A. ±3 B. 3 C. －3 D. 以上都不对
知识点2 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是 ax²+bx+c=0 (a≠0)，其中 ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
一元二次方程的一般形式
指出方程各项的系数时要带上前面的符号．
当 a ≠ 0 ， b = 0时
当 a ≠ 0 ， c = 0时
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时
为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c 可以为零呢？
当b ≠ 0时，为一元一次方程
若ax2+bx+c=0是一元二次方程只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
2. 将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.它的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
3. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2－2x+a2－3x2 =9 的常数项是 0，求 a 的值 .
解：将原方程化为一般形式，得(a－3) x2－2x+a2－9=0.因为 (a－3) x2－2x+a2－9=0是一元二次方程，所以 a － 3≠ 0，即 a≠ 3.因为常数项为 0，所以a 2 － 9=0， 即a 2 =9，得a=3或a= － 3.又由a≠ 3可知， a 的值为 － 3.
1. 将方程2x2=－3x+5 化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是(     )A. 2， 3， －5B. －2， 3， 5C. 2， －3， 5D. 2， 3， 5
2. 关于x的一元二次方程(m － 3) x 2+ m2x =9x+5 化为一般形式后不含一次项，则 m 的值为(     ) A. 0 B. ± 3 C. 3 D. － 3
1. 如果明确指出方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么隐含条件a≠ 0．否则，a的取值不确定是否为0．2. 确定一元二次方程的各项和各项系数时，不要漏掉各项前面的符号．3. 通常情况下，方程整理为一般形式时，将二次项系数化为正数.
确定各项及各项系数(不要漏掉符号)
去分母、去括号、移项、合并同类项
通常将二次项系数化为正数
确定一元二次方程各项及各项系数的一般步骤
知识点3 一元二次方程的解（根）
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
一元二次方程的解（根）
若一元二次方程有解，则解一定有两个
解：当x=-1时，左边=(-1)2-4×(-1)+3=8，∵左边≠右边，∴-1不是方程x2-4x+3=0的解；当x=0时，左边=0-0+3=3，∵左边≠右边，∴0不是方程x2-4x+3=0的解；
当x=1时，左边=12-4×1+3=0，∵左边=右边，∴1是方程x2-4x+3=0的解；当x=3时，左边=32-4×3+3=0，∵左边=右边，∴3是方程x2-4x+3=0的解.
综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x+3=0的解.
5. 已知a是方程 x2+2x-2=0 的一个实数根，求3a2+6a+ 2019的值.
解：由题意，得a2+2a-2=0，即a2+2a=2.∴ 3a2+6a+2 019=3(a2+2a) +2 019=3×2 +2 019=2 025.
已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1) 5x2−1=4x； (2) 4x2=81； (3) 4x(x+2)=25； (4) (3x−2)(x+1)=5x−2.
解：(1)一般形式为5x2-4x-1=0.二次项系数为5；一次项系数为-4；常数项为-1.(2)一般形式为4x2-81=0.二次项系数为4；一次项系数为0；常数项为-81.(3)一般形式为4x2+8x-25=0.二次项系数为4；一次项系数为8；常数项为-25.(4)一般形式为3x2-4x=0.二次项系数为3；一次项系数为-4；常数项为0.
解：∵一元二次方程未知数的最高次数为2，∴ m2-2=2，解得m=±2.∵二次项系数不为0，∴m-2≠0，即m≠2.∴m=﹣2.
3. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：(1) 4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；(2) 一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；(3) 把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的 平方，求较短一段的长.
解：(1)设正方形的边长为x，根据题意，得4x2=25，一般形式为4x2-25=0.
(2)设矩形的长为x，则宽为x-2，根据题意，得x(x-2)=100，一般形式为x2-2x-100=0.
(3)设较短一段的长为x m，则较长一段的长为(1-x) m，根据题意，得x=(1-x)2，一般形式为x2-3x+1=0.
4. 如图，一张长方形照片长21 cm，宽10 cm，配一个相框，相框的四条边宽度都相等，且相框边的面积是照片面积的四分之一，求相框边的宽度.设相框边的宽度为x cm，依题意可列方程为______________. (化为一般形式)
8x2+124x-105=0
5. 若(m－3)x|m－1|－x－5 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 m 的值.
解：由题意可知， m－3≠ 0且|m－1|=2，所以m-1=±2 且m≠ 3， 解得m=3 或m=-1，且m≠ 3.所以 m=－1.
6. 已知 m 为方程x2+x－3=0的一个根，则代数式m3+2m2－2m+6的值为____ .
解：∵ m 为方程 x 2+x－3=0 的一个根， ∴ m 2+m－3=0.∴ m 2+m=3．∴ m 3+2m 2－2m+6=m3+m 2+m 2+m－3m+6=m(m 2+m) +(m 2+m) －3m+6=3m+3－3m+6=9．
方法二：∵ m为方程x2+x－3=0的一个根，∴ m2+m－3=0．∴ m2=3－m， m2+m=3．∴ m3+2m2－2m+6=m(3－m)+2m2－2m+6=3m－m2+2m2－2m+6=m2+m+6=3+6=9．
8. 已知关于 x 的方程(m+1) xm ² +1+(m－2) x－1=0.(1) 当m取何值时，它是一元一次方程？求出此方程的根 .(2) 当m取何值时，它是一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项 .
解：(1) 当m－2≠0，m+1=0时，解得m=-1；当m2+1=1，m+1+(m－2)≠0时，解得m=0.故当m=-1或m=0时，原方程为一元一次方程.当m=-1时，方程为-3x-1=0，解得x=-13；当m=0时，方程为-x-1=0，解得x=-1.
(2) 根据题意，得m2+1=2，m+1≠0，解得m=1.故当m=1时，原方程即为2x2-x-1=0，是一元二次方程，它的二次项系数是2，一次项系数是-1，常数项是-1.
1. 已知一元二次方程x2 － 3x+m=0 的一个根为 1，则 m= ____.
解：将 x=1 代入一元二次方程，得1－3+m=0，解得 m=2．
2. 若关于 x 的一元二次方程 ax2+ bx－1=0(a ≠ 0)有一根为 x=1，则一元二次方程 a(x－1) 2+b(x－1)－1=0 必有一根为 __________．
解：因为一元二次方程 a(x－1) 2+b(x－1)－1=0与 ax2+bx－1=0(a≠0) 的结构相同，且一元二次方程ax2+bx－1=0(a ≠ 0) 有一根为x=1，所以 x－1=1，解得 x=2.
两个方程的结构相同，将第二个方程中含x的代数式看作一个整体，可以得到其取值与第一个方程的解相同，进而求出第二个方程的解．