数学九年级上册（2024）26.3 二次函数与一元二次方程示范课课件ppt

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二次函数与一元二次方程的关系用图象法求一元二次方程的根二次函数与一元二次不等式的关系(初高衔接)
二次函数与一元二次方程的关系
一般地，从二次函数 y=ax2＋bx＋c 的图象可得如下结论：(1)如果抛物线y=ax2＋bx＋c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，那么当 x=x0时，函数值是 0，因此 x=x0 是方程 ax2＋bx＋c=0 的一个根 .
(2)二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，分别对应着一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根， 有两个不相等的实数根. 具体情况见下表：
已知二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为(3，0)，则该函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为______ .
解题秘方：可以将已知点的坐标代入方程，求出m的值，解方程求得另一个交点的坐标；也可以利用抛物线的对称性求解；还可以利用根与系数的关系求解.
解：方法一 ∵二次函数y=-x2+2x+m的图象与x 轴的一个交点为(3，0)，∴ x=3 是一元二次方程-x2+2x+m=0 的一个根. ∴-32+2×3+m=0，解得m=3.∴-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3. ∴该函数的图象与x 轴的另一个交点的坐标为(-1，0).
1-1. [期末·天津河西区] 二次函数y=ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，可知方程ax2＋bx＋c ＝ 0的一个根为x＝ 5，则方程的另一个根为(     )A. x= － 1 B. x=0C. x=1 D. x=2
抛物线 y=x2－4x－m2+1(m 是常数)与坐标轴交点的个数为( )A. 0 B. 1 或 2 C. 2 或 3 D. 3
解：令 y=x2－4x－m2+1＝ 0，则 Δ ＝(－4) 2－4× 1×(－m 2+1) =4m 2+12>0， ∴ 抛物线与 x 轴有 2 个交点．当 x=0 时， y= －m2+1 ，若 m=± 1，则抛物线与 y 轴交于原点，此时抛物线与坐标轴有 2 个交点；若 m ≠ ± 1，则抛物线与 y 轴交于点(0， －m2+1)，此时抛物线与坐标轴有 3 个交点．
2-1. 已知抛物线y=ax2＋bx＋c ，则当a>0， c－1B. k ≥ －1C. k>－1 且 k ≠ 0D. k ≥ －1 且 k ≠ 0
3-2. 抛物线y=x2 － 6x+c与x轴只有一个交点，则c= _______.
用图象法求一元二次方程的根
1. 利用二次函数y=ax2+bx+c 的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的一般步骤： (1)画出二次函数y=ax2+bx+c 的图象； (2)确定抛物线与x 轴的交点的横坐标； (3)交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根.
2. 当函数图象与x 轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根：
注意用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，但作图或观察可能存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的.
[母题 教材 P48 例2] 利用二次函数的图象求一元二次方程 －x2+2x－3=－8 的近似解(结果保留小数点后一位) .
解题秘方：用图象法求一元二次方程的近似解时，一般先作出相应的二次函数图象，确定一元二次方程的解的个数，找出二次函数图象与x 轴交点的横坐标的大致范围，然后利用取平均数的方法缩小解所在的范围，通过反复计算求出满足精确度要求的近似解.
解：整理方程，得 －x2+2x+5=0.作函数 y=－x2+2x+5的图象，如图 26.3-1 所示 .由 图 知，抛 物 线 与 x 轴 公 共 点 的 横 坐 标 分 别 在 －2和 －1，3 和 4 之间，即方程 －x2+2x－3=－8 的两个实数解分别在 －2 和 －1，3 和 4 之间，用取平均数的方法不断缩小解的取值范围，从而确定方程的近似解 .
由图象可知，当 x=3 时， y>0；当 x=4 时， y