初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质课文内容ppt课件

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二次函数 y=ax 2 的图象和性质二次函数 y=ax 2+k 的图象和性质二次函数 y=a(x-h) 2 的图象和性质二次函数 y=a(x-h) 2 +k 的图象和性质二次函数 y=ax2＋bx＋c 的图象和性质用待定系数法求二次函数的解析式(拓展点)
二次函数 y=ax2 的图象和性质
1. 抛物线：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象是一条曲线，这条曲线叫作抛物线 y=ax2+bx+c.抛物线是轴对称图形，抛物线与其对称轴的交点叫作抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.
2. 用描点法画二次函数 y=ax2的图象的一般步骤
一般先取原点，然后在y 轴两侧对称取点
注意(1)用描点法所画的图象只是二次函数图象的一部分且是近似的. 一般来说，选点越多，图象越精确.(2)抛物线向两端无限延伸，左右两侧关于对称轴对称.
警示误区连线时，初始点和末端点要注意适当“向外延伸”，切忌用线段连接或漏点、跨点连接﹒
特别解读1. 判断二次函数的增减性的技巧：从抛物线的对称轴分开，自左向右看，“上坡路”就是y 随x 的增大而增大，“ 下坡路”就是y 随x 的增大而减小.2. 二次函数y=-ax2(a≠0)的图象与y=ax2(a≠0)的图象关于x轴对称.3.|a| 决定抛物线y=ax2的开口大小，|a| 越大，开口越小；|a|越小，开口越大.
3.二次函数 y=ax2 (a ≠ 0)的图象和性质
解题秘方：用描点法，按列表→描点→连线的顺序作图 .
描点、 连线，即得三个函数的图象，如图 22.1-4 所示 .
1-1. 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=5x2，y=-5x2 的图象.
描点、连线可得图象如图所示.
[母题 教材P36 练习T2]观察例1中两个函数的图象，说出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况.
解题秘方：(1)讨论二次函数的增减性一定要说明是在对称轴(或顶点)的左侧还是右侧，如“对于二次函数y=ax2，若a>0，则y 随x 的增大而减小”的说法是错误的；(2)运用数形结合思想记忆二次函数y=ax2 的性质更容易.
二次函数 y=ax2＋k 的图象和性质
1. 二次函数 y=ax2＋k 的图象与性质
特别解读平移规律：上加下减，纵变横不变.1.“上加下减”表示抛物线的位置上下平移规 律， 即： 抛物线y=ax2＋k 是由抛物线y=ax2 上下平移｜k｜个单位长度得到的， “上加”表示当 k 为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时，向下平移.2.“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：抛物线平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
2. 二次函数y=ax2+k 与y=ax2 的图象间的关系二次函数y=ax2+k与y=ax2的图象形状相同，只是位置不同.抛物线y=ax2+k 可由抛物线y=ax2沿y 轴向上(下)平移|k| 个单位长度得到.
[母题 教材P38 练习]在同一平面直角坐标系中，画出函数y= -x2，y=-x2+1 与y=-x2-1 的图象，并根据图象回答下列问题.
(1)抛物线y=-x2+1可以看成是由抛物线y=-x2 向______平移______个单位长度得到的，抛物线y=-x2-1可以看成是由抛物线y=-x2向______平移______个单位长度得到的；(2)分别指出抛物线y=-x2+1 和 y=-x2-1 的开口方向、对称轴和顶点坐标，以及随着x的增大，y的变化情况.
解题秘方：紧扣二次函数y=ax2＋k的图象和性质，及图象间的平移规律解答.
描点、连线，即得这三个函数的图象，如图26.2-2 所示.
(1)抛物线y=-x2+1可以看成是由抛物线y=-x2 向______平移______个单位长度得到的，抛物线y=-x2-1可以看成是由抛物线y=-x2向______平移______个单位长度得到的；
(2)分别指出抛物线y=-x2+1 和 y=-x2-1 的开口方向、对称轴和顶点坐标，以及随着x的增大，y的变化情况.
抛物线y=-x2+1 的开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0,1). 当x0 时，y 随x 的增大而减小. 抛物线y=-x2-1 的开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0,-1). 当x0 时，y 随x 的增大而减小.
3-1.二次函数 y=－x2－2的图象大致是(     )
3-2. 已知抛物线y= 2x2-3. (1)它的开口向_____， 对称轴为_____，顶点坐标为_____. (2)把抛物线y=2x2 向_____平移_____个单位长度可得抛物线y=2x2-3. (3)当x_____时，y 随x 的增大而减小；当x_____ 时，y 随x的增大而增大； 当x _____时，函数y有最小值，最小值是_____ .
二次函数 y=a( x－h) 2 的图象和性质
1. 二次函数 y=a ( x－h ) 2 的图象和性质
当 h>0 时，顶点在 x 轴的正半轴上；当hh 和x1 时， y 随 x 的增大而减小 . 其中正确结论有_________ .
解题秘方：紧扣二次函数 y=a (x － h) 2＋k 的图象和性质逐一判断 .
解：因为 a= － 11 时， y 随 x 的增大而减小，故④正确 .
5-1.关于二次函数y=2(x-4)2 +6，下列说法正确的是_________(填序号).①图象的开口向上；②图象的对称轴为直线x=4；③最小值为6；④ 当x>0 时，y 随x 的增大而增大.
解题秘方：先利用二次函数图象的平移规律写出平移后对应的解析式，再利用列表法画出函数图象，最后结合函数图象探究函数的性质，进而解决相关问题.
(1)求出 a， h， k 的值 .
(3)观察二次函数 y=a ( x－h ) 2＋k的图象，当 x____ 时， y随 x 的增大而减小；当 x____ 时， y随 x 的增大而增大；当 x_________时，函数有最________值是______.(4)观察二次函数 y=a ( x－h ) 2＋k的图象，你能说出对于一切 x 的值， y 的取值范围吗？
二次函数 y=ax2 ＋bx＋c的图象和性质
根的判别式Δ 的相反数
2. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象的画法(1)描点法: ①把二次函数y=ax2+bx+c 化成y=a(x-h)2+k 的形式； ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； ③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点并用光滑的曲线顺次连接.
(2) 平移法: ①把二次函数y=ax2+bx+c 化成y=a(x-h)2+k 的形式，确定其图象的顶点坐标(h，k)； ②作出二次函数y=ax2 的图象； ③将二次函数y=ax2 的图象平移，使其顶点平移到(h，k)处.
3. 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质
4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与字母系数的关系二次函数y=ax2+bx+c中，a 的符号决定抛物线的开口方向，ab的符号决定抛物线的对称轴的大致位置，c 的符号决定抛物线与y 轴交点的大致位置，具体如下表：
拓宽视野结合图象，通过对x 赋值，判断特殊函数值的正负：对于二次函数y=ax2+bx+c：当x=1时，y=a+b+c，此时，若y=0，则a+b+c=0；若y﹥0，则a+b+c ﹥0；若y﹤0，则a+b+c ﹤0.当x=-1时，y=a-b+c，此时，若y=0，则a-b+c=0；若y ﹥0，则a-b+c ﹥0；若y ﹤0，则a-b+c ﹤0.
对于抛物线y=x2-4x+3.(1)将抛物线的解析式化为顶点式；(2)画出此抛物线.
解题秘方：先用配方法将一般式化为顶点式，再用“五点法”画出抛物线.
解：y=x2-4x+3=(x2-4x+4)-4+3=(x-2)2-1， 故顶点式为y=(x-2)2-1.
(1)将抛物线的解析式化为顶点式；
描点、连线，函数图象如图26.2-5 所示.
7-1. 在平面直角坐标系中，画出二次函数y=-2x2+4x+3的图象，并指出抛物线y=-2x2+4x+3是由抛物线y=-2x2经过怎样的平移得到的.
解:y=-2x2+4x+3=-2(x-1)2+5.画图象略.将抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到抛物线y=-2x2+4x+3.
[模拟·衢州柯城区]由二次函数y=-x2+2x 可知( )A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为直线x=-1C. 函数的最大值为-1 D. 当x≤ 1 时，y随x的增大而增大
解题秘方：本题可不用配方法将二次函数的一般式化成顶点式，根据公式求出对称轴，再利用二次函数的性质作出判断.
8-1.[期末·成都武侯区]关于二次函数y=x2+2x-8，下列说法正确的是( )A.图象的对称轴在y 轴的右侧B. 图象与y 轴的交点坐标为(0，8)C. 当x0；④ 4a+2b+c3 时，y 随x 的增大而增大， ∴ h=3. 正解：∵二次函数y=2(x-h)2 的图象开口向上， ∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大. 又∵对称轴为直线x=h， ∴ h ≤ 3.
诊误区：二次函数的增减性分图象对称轴两侧，若已知增减性确定对称轴的位置时，注意相对性.如本题，x>3在对称轴的右侧，则对称轴是直线x=3或在直线x=3的左侧，故h ≤ 3.
[中考·哈尔滨] 把二次函数 y=2x2的图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________ .
求平移后二次函数的解析式
y=2(x+1) 2－2
试题评析：本题考查的是二次函数图象的平移，熟知“上 加下减，左加右减”的原则是解题的关键．
解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为 y=2(x+1) 2 ；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2(x+1) 2向下平移 2 个单位长度所得抛物线的解析式为 y=2(x+1) 2－2.
[中考·威海]已知点(-2，y1)，(3，y2)， (7，y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c的图象上， 则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A. y1>y2>y3 B. y1>y3>y2 C. y2>y1>y3 D.y3>y2>y1
利用二次函数的图象和性质比较函数值的大小
试题评析：本题考查比较二次函数值的大小，根据解析式可得图象的开口向下，对称轴为直线x=2，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．
解：∵二次函数解析式为y=-(x-2)2+c， ∴二次函数y=-(x-2)2+c 的图象开口向下，对称轴为直线x=2. ∴离对称轴越近，函数值越大. 点(-2，y1)的横坐标-2 与2 的距离为|-2-2|=4，点(3，y2)的横坐标3 与2 的距离为|3-2|=1，点(7，y3)的横坐标7 与2 的距离为|7-2|=5． ∵ 1y3.
[中考·盐城]已知二次函数y=x2- 2x-3，当自变量x满足0 ≤ x≤ 4 时，y的取值范围是____________ .
求二次函数的函数值的取值范围
试题评析：本题考查二次函数的图象与性质，先求出二次函数图象的对称轴和开口方向，再求出函数的最大值和最小值即可求得y 的取值范围．
解：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴函数图象的对称轴为直线x=1，开口向上. 当x=0 时，y=-3； 当x=4 时，y=5； 当x=1 时，y最小值=-4. ∴易得y 的取值范围是-4 ≤ y ≤ 5.
[ 中考·陕西 ] 已知一个二次函数y=ax2＋bx＋c的自变量 x 与函数 y 的几组对应值如下表：则下列关于这个二次函数的结论正确的是(　　)A. 图象的开口向上B.当 x ＞ 0 时， y 的值随 x 值的增大而减小C. 图象经过第二、三、四象限D. 图象的对称轴是直线 x ＝ 1
利用二次函数的图象和性质进行辨析
试题评析：本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及其图象与性质，将一般式化成顶点式是解题的关键．
又 ∵ 抛 物 线 的 开 口 向 下， ∴ 当x1 时，y 随 x 的 增 大 而 减 小，故 B 不 符 合 题 意，D 符合题意；令 y ＝ 0，得 －x 2+2x=0，解得 x 1 ＝ 0，x 2 ＝ 2， ∴ 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 坐 标 为(0，0)和(2，0)，又∵ 抛物线的顶点坐标为(1，1)， ∴ 抛物线经过第一、三、四象限，故 C 不符合题意 .
[中考·徐州]如图26.2-14， A， B为一次函数y=－x+5的图象与二次函数y=x2+bx+c 的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0， 4. P为二 次 函 数y=x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接 PA， PB．
利用二次函数解决面积最值问题
(1)求 b， c 的值；(2)求△ PAB 的面积的最大值．
试题评析：本题主要考查了利用二次函数的最值求几何图形的面积的最值，设出点P的坐标，列出关于△ PAB的面积的二次函数解析式是解题的关键．
(1)求 b， c 的值；
(2)求△ PAB 的面积的最大值．
1. 在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x － h)2(a≠0)的图象可能是( )
2. [中考•徐州]在 平 面 直 角 坐 标 系 中，将二 次 函 数 y ＝(x+1) 2+3 的 图 象 向 右平 移 2 个 单 位 长 度，再 向 下 平 移 1 个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为( ) A． y=(x+3) 2+2 B． y=(x－1) 2+2C． y=(x－1) 2+4 D． y=(x+3) 2+4
3. 关于抛物线y=-x2+6x-7，下列说法正确的是( )A. 开口向上B. 对称轴是直线x=-3C. 与y 轴的交点坐标是(0,7)D. 顶点坐标是(3，2)
4.[中考· 安徽]已知二次函数y=ax2+bx+c (a ≠ 0)的图象如图所示，则( ) A. abc