第16章 相交线与平行线 章节复习卷 (培优) 2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级下册

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第16章 相交线与平行线 章节复习卷 (培优)参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（　　）A．∠1＝∠3B．∠2＝∠3C．∠4＝∠5D．∠2+∠4＝180°【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行对各选项进行判断．【解答】解：当∠1＝∠3时，a∥b；当∠4＝∠5时，a∥b；当∠2+∠4＝180°时，a∥b．故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．2．（2分）如图所示，下列说法正确的是（　　）A．∠B与∠C是同位角B．∠C与∠DAB是内错角C．∠DAC与∠B是同位角D．∠CAB与∠B是同旁内角【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义进行判断即可．【解答】解：由所给图形可知，因为∠B与∠C是同旁内角，所以A选项不符合题意；因为∠C与∠DAB不是内错角，所以B选项不符合题意；因为∠DAC与∠B是同位角，所以C选项不符合题意；因为∠CAB与∠B是同旁内角，所以D选项符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，熟知同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键．3．（2分）如图，不是∠B的同旁内角的是（　　）A．∠1B．∠2C．∠3D．∠BCD【分析】观察图形，根据同旁内角、内错角和同位角的定义，对各个选项中的角与∠B的关系进行判断即可．【解答】解：A．∵观察图形可知：∠1和∠B是同旁内角，∴此选项不符合题意；B．∵观察图形可知：∠2和∠B是同旁内角，∴此选项不符合题意；C．∵观察图形可知：∠3和∠B不是同旁内角，也不是内错角，也不是同位角，∴此选项符合题意；D．∵观察图形可知：∠BCD和∠B是同旁内角，∴此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了同位角、内错角和同旁内角，解题关键是正确识别图形，能够能够准确判断同位角、内错角和同旁内角．4．（2分）下列命题中，判断错误的是（　　）A．所有定理都有逆命题B．对顶角相等的逆命题是真命题C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行D．假命题的逆命题不一定是假命题【分析】根据命题，定理的定义，逆命题的定义一一判断即可．【解答】解：A、所有定理都有逆命题，正确，不符合题意；B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，原说法错误，符合题意；C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，正确，不符合题意；D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如相等的角是对顶角是假命题，而此命题的逆命题是对顶角相等，是真命题，正确，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．（2分）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过1.85m获得满分，达到或超过1.95m获得加分．如图，一女生在起跳线l上的点A处起跳，BC⊥l，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（　　）A．BC可能为1.95mB．BC可能为1.8mC．AB可能为1.85mD．AB可能为1.95m【分析】根据题意和垂线段最短的性质判断即可．【解答】解：∵该女生获得满分但未加分，∴1.85m≤BC＜1.95m，∵AB＞BC，∴AB可能为1.95m，故选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键．6．（2分）如图，AB⊥BC，EM平分∠AEC交AB于M，EM⊥MC，∠1+∠2＝90°，F，D分别是AE，BC延长线上的点，∠MEF和∠MCD的平分线交于点N．下列结论：①∠1＝90°−12∠BCE；②AF∥BD；③CM平分∠ECB；④∠N＝135°，其中正确的有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据角平分线的定义，可得∠1＝∠3，由∠EMC＝90°，得到∠3+∠4＝90°，结合∠1+∠2＝90°，推出∠4＝∠2，即可判断①②③，过点N作NG∥BD，由∠1+∠2＝90°可得∠MEF+∠MCD＝270°，根据AF∥BD，NG∥BD，推出∠N＝∠FEN+∠DCN，再根据角平分线的定义，得到∠FEN+∠DCN=12(∠MEF+∠MCD)=135°，即可判断④．【解答】解：如图，过点N作NG∥BD，由条件可知∠1＝∠3，∠EMC＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∴∠4=∠2=12∠BCE，∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠1=∠3=90°−∠4=90°−12∠BCE，∠AEC+∠BCE＝180°，∴AF∥BD，CM平分∠ECB，故①②③正确；∵∠1+∠2＝90°，∴∠MEF+∠MCD＝270°，由条件可知AF∥BD∥NG，∴∠N＝∠FEN+∠DCN，∵∠MEF和∠MCD的平分线交于点N，∴∠FEN+∠DCN=12(∠MEF+∠MCD)=135°，故④正确．故选：D．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．二．填空题（共12小题，满分36分，每小题3分）7．（3分）如图，BO⊥AO，∠BOC与∠AOC的度数之比为1：5，则∠BOC＝　15　 °．【分析】由垂直的定义得∠BOA＝90°，结合∠BOC与∠AOC的度数比即可求解．【解答】解：∵BO⊥AO，∠BOC与∠AOC的度数之比为1：5，∠BOC+∠AOC＝∠BOA，∴∠BOA＝90°，∴∠BOC=11+5×∠BOA=16×90°=15°．故答案为：15．【点评】本题考查的是垂线，熟知当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直是解题的关键．8．（3分）如图，BD平分∠ABC，DE∥BC，且∠AED＝70°，则∠DBC＝　35　 °．【分析】由DE∥BC得到∠ABC＝∠AED＝70°，再根据BD平分∠ABC得到答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠AED＝70°（两直线平行，同位角相等），∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC=35°（角平分线的定义），故答案为：35．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质．9．（3分）如图，点E、F分别在线段AD、BC上，线段AC、EF交于点G，AB∥EF∥DC，找出图中与所有∠CGF相等的角：　∠CAB，∠DCG，∠AGE ．【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行求解即可．【解答】解：∵AB∥EF，（已知）∴∠CGF＝∠CAB（两直线平行，同位角相等），∵EF∥CD，∴∠DCG＝∠CGF（两直线平行，内错角相等），∴∠CGF＝∠CAB＝∠DCG（等量代换），又∵∠AGE与∠CGF是对顶角，∴∠AGE＝∠CGF（对顶角相等），∴图中与所有∠CGF相等的角有∠CAB，∠DCG，∠AGE．故答案为：∠CAB，∠DCG，∠AGE．【点评】本题考查平行线的性质，正确进行计算是解题关键．10．（3分）把如图所示的挂衣钩固定在墙上时，至少要钉两个钉子，这样做的依据是：　两点确定一条直线　 ．【分析】根据两点确定一条直线即可得．【解答】解：把根据题意可知，这样做的依据是：两点确定一条直线．故答案为：两点确定一条直线．【点评】本题考查了两点确定一条直线，掌握两点确定一条直线是解题关键．11．（3分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为　50　 °．【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵直线m∥n，∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，故答案为：50【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．12．（3分）如图，已知AB∥CD，∠BAC＝100°，点M为射线AB上一动点，连接MC，作CP平分∠ACM交直线AB于点P．在直线AB上取点N，连接NC，使∠ANC＝2∠AMC，当∠PCN=14∠PNC时，∠PCM＝　30°或50°3　 ．【分析】根据点N与点A，点P的位置分三种情况讨论，分别画出图形根据平行线的性质推导即可．【解答】解：根据点N与点A，点P的位置分三种情况讨论，①当点N在点P的右侧时，设∠PCN＝α，∵∠PCN=14∠PNC，∴∠PNC＝4α，∴∠ANC＝4α＝2∠AMC，∴∠AMC＝2α，∵AB∥CD，∴∠AMC＝∠MCD＝2α，∵∠ANC＝∠AMC+∠NCM，∴∠AMC＝∠NCM＝2α，∴∠PCM＝∠PCN+∠NCM＝3α，∵CP平分∠ACM，∴∠PCM＝∠ACP＝3α，∴∠ACD＝2∠ACP+∠MCD＝6α+2α＝8α，∵AB∥CD，∠BAC＝100°，∴∠ACD＝180°﹣∠BAC＝80°，∴8α＝80°，∴α＝10°，∴∠PCM＝3α＝30°；②当点N在点A的左侧时，∠PNC和∠ANC是同一个角，设∠PCN＝α，∠ACP＝β，∵CP平分∠ACM，∴∠PCM＝∠ACP＝β，∠ACM＝2β，∴∠ACN＝∠PCN﹣∠ACP＝α﹣β，∴∠PNC＝4∠PCN＝4α，∴∠ANC＝4α，∠NMC＝2α，∵AB∥CD，∠BAC＝100°，∴∠NMC＝∠MCD＝2α，∠ACD＝180°﹣∠BAC＝80°，∴∠MCD＝∠ACD﹣∠ACM，∴2α＝80°﹣2β，∴α＝40°﹣β，∵∠BAC＝∠PNC+∠ACN，∴100°＝4α+α﹣β，解得β=50°3，∴∠PCM=β=50°3，③当点N在A，P之间时，设∠PCN＝α，∠ACN＝β，则∠ACP＝α+β，∵CP平分∠ACM，∴∠ACP＝∠PCM＝α+β，∠ACM＝2（α+β），∴∠MCD＝∠ACD﹣∠ACM＝80°﹣2（α+β），由已知得：∠PNC＝4∠PCN＝4α，∴∠ANC＝180°﹣∠PNC＝180°﹣4α，∵∠ANC＝2∠AMC，∴∠AMC＝90°﹣2α，∵∠AMC＝∠MCD，∴90°﹣2α＝80°﹣2（α+β），∴β＝﹣5°（不合题意），此种情况不存在．综上：∠PCM的度数为30°或50°3．故答案为：30°或50°3．【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角定理，解决本题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．13．（3分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°，当0＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，当∠ACE的度数为 　120°或30°　 时，三角板BCE的直角边与边AD平行．【分析】分两种情况：当CB∥AD时；当CE∥AD时，然后分别利用平行线的性质是解题的关键．【解答】解：分两种情况：当CB∥AD时，如图：∵CB∥AD，∴∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∵∠ECB＝90°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝30°；当CE∥AD时，如图：∵AD∥CE，∴∠ACE＝180°﹣∠A＝120°；综上所述：如果三角板BCE的直角边与边AD平行，那么∠ACE的度数为120°或30°，故答案为：120°或30°．【点评】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键．14．（3分）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠BCD+8°，∠D＝110°，则∠B﹣∠CGF＝ 　118°　 ．【分析】过点C作CH∥AF，则AF∥DE∥CH，得到∠CGF＝∠GCH，∠D＝∠DCH，进而得出∠BCD＝110°+∠CGF，计算即可得到答案．【解答】解：过点C作CH∥AF，∵AF∥DE，∴AF∥DE∥CH，∴∠CGF＝∠GCH（两直线平行，内错角相等），∠D＝∠DCH（两直线平行，内错角相等），∴∠BCD＝∠DCH+∠GCH＝∠D+∠CGF＝110°+∠CGF，∵∠B＝∠BCD+8°，∴∠B﹣∠CGF＝∠BCD+8°﹣∠CGF＝110°+∠CGF+8°﹣∠CGF＝118°．故答案为：118°．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．15．（3分）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为 　如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行　 ．【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．【解答】解：命题可以改写为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．【点评】考查了命题与定理的知识，任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．16．（3分）将直角三角板如图所示放置，∠ABC＝60°，∠ACB＝90°，∠A＝30°，直线CE∥AB，BE平分∠ABC，在直线CE上确定一点D，满足∠BDC＝45°，则∠EBD＝　15°或105°　 ．【分析】分两种情况：D在C的左边；D在C的右边；根据平行线的性质和角平分线的定义即可求解．【解答】解：D在C的左边，如图1：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABC＝30°，∵CE∥AB，∴∠ABD＝180°﹣∠BDC＝135°，∴∠EBD＝135°﹣30°＝105°；D在C的右边，如图2：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=12∠ABC＝30°，∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠BDC＝45°，∴∠EBD＝45°﹣30°＝15°．故∠EBD＝15°或105°．故答案为：15°或105°．【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟悉两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等的知识点．注意分类思想的应用．17．（3分）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F），点C、D的对应点分别是C1，D1，ED1交BC于G，再将四边形C1D1GF沿FG折叠，点C1、D1的对应点分别是C2、D2，GD2交EF于H，给出下列结论：①∠EGD2＝∠EFG；②2∠EFC＝∠EGC+180°；③若∠FEG＝26°，则∠EFC2＝102°；④∠FHD2＝3∠EFB．上述正确的结论是 　②③④　 ．【分析】由折叠性质得到∠DEF＝∠GEF，∠D2GF＝∠D1GF，根据平行线性质得到∠DEF＝∠GEF＝∠EFG，再由三角形外角性质确定∠DGF＝∠GEF+∠GFE，设∠EGD2＝α，∠EFG＝β，则 α+4β＝180°，只有当α＝β＝36°时结论①才成立；由ED1∥FC1，得到∠EGC＝∠GFC1，结合折叠性质求证即可得到②正确；在①的求证过程中可知∠GEF＝∠EFG＝26°，设∠EFC2＝α，则∠GFC2＝26°+α＝∠GFC1，从而由折叠性质表示出角度关系列方程求解即可得到③正确；在①的证明过程中∠FGH＝∠D1GF＝∠GEF+∠GFE＝2∠EFB，结合外角性质即可得到④正确；从而得到答案．【解答】解：由折叠性质得∠DEF＝∠GEF，∠D2GF＝∠D1GF，∴∠EGD2+∠D2GF+∠D1GF＝180°，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG，则∠DEF＝∠GEF＝∠EFG，∵∠D1GF是△EGF一个外角，∴∠D1GF＝∠GEF+∠GFE，设∠EGD2＝α，∠EFG＝β，则α+4β＝180°，当∠EGD2＝∠EFG时，α＝β＝36°，但题中并未明确∠EGD2、∠EFG的度数，故①错误；∵ED1∥FC1，∴∠EGC＝∠GFC1，由折叠性质可知∠EFC＝∠EFC1，则2∠EFC＝∠BFC+∠GFC1＝∠EGC+180°，故②正确；由折叠性质得∠EFC1＝∠EFC，∠GFC2＝∠GFC1．由①的证明过程可知，∠GEF＝∠EFG＝26°，设∠EFC2＝α，则∠GFC2＝26°+α＝∠GFC1，∴∠EFC＝∠EFC1＝26°+（26°+α）＝α+52°，∵∠EFG+∠EFC＝180°，∴26°+α+52°＝180°，解得α＝102°，即∠EFC2＝102°，故③正确；由①知∠FGH＝∠D1GF＝∠GEF+∠GFE＝2∠EFB，∵∠FHD2是△HGF的一个外角，∴∠FHD2＝∠FGH+∠EFB＝3∠EFB，故④正确；综上所述，题中正确的结论是②③④，故答案为：②③④．【点评】本题考查折叠求角度关系，涉及折叠性质、邻补角定义、三角形外角性质、平行线性质等知识，数形结合，利用相关几何性质．18．（3分）当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，MN为液面，AB⊥MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1＝50°，折射角∠2＝36°，则∠EDF的度数为　14°　 ．【分析】根据对顶角相等求出∠FDB＝50°，再计算角的差即可．【解答】解：∵点F为CD的延长线上一点，∴∠1＝∠FDB＝50°，∴∠EDF＝∠FDB﹣∠2＝50°﹣36°＝14°，即∠EDF的度数为14°，故答案为：14°．【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，关键是平行线性质的熟练掌握．三．解答题（共7小题，满分52分）19．（5分）如图，已知AB∥CD，GH平分∠AGM，MN平分∠DMG，求证：GH∥MN．【分析】先证明∠AHM＝∠HMD，再证明∠GHM＝∠HMN即可得到结论．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠AHM＝∠DMG（两直线平行，内错角相等），∵GH平分∠AHM，MN平分∠DMH，∴∠HGM=12∠AHM=12∠DMG＝∠NMG，∴GH∥MN（内错角相等，两直线平行）．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．20．（5分）补全下列推理过程：如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠2，试说明DG∥BA．解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知），∴∠BFE＝90°，∠BDA＝90°（　垂直的定义　 ），∴∠BFE＝∠BDA，∴EF∥AD（　同位角相等，两直线平行　 ）．∴∠2＝∠3（　两直线平行，同位角相等　 ）．∵∠1＝∠2（已知），∴　∠1＝∠3　 （等量代换）．∴DG∥AB（　内错角相等，两直线平行　 ）．【分析】根据条件与结论因果关系，平行线的判定和性质直接填写即可得到答案．【解答】解：∵EF⊥BC，AD⊥BC（已知），∴∠BFE＝∠BDA＝90°（垂直的定义），∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠3（等量代换），∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）．故答案为：垂直的定义，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，∠1＝∠3，内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查平行线的判定和性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握．21．（6分）如图，在三角形ABC中，D、E是AB上的点，F是BC上一点，G、H是AC上的点，FD⊥AB，连接EF、EH、EG．有下列三个条件：①EG⊥AB；②∠1＝∠2；③EH∥BC．（1）请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论，写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题；（2）请你选择（1）中的一个真命题进行证明．【分析】（1）根据题意写出命题，并判断真假即可；（2）选择命题一：先根据垂直得到DF∥EG，即可得到∠HEF＝∠BFE，然后根据角的和差解题即可；选择命题二：延长EG、BC交于点M，根据垂直可得∠BDF＝90°，然后根据H∥BC，得到∠2＝∠M，然后根据等量代换的到∠1＝∠M，即可得到FD∥EM，证明结论；选择命题三：延长EG、BC交于点M，可以得到DF∥EG，即可得到∠1＝∠M，然后推导∠2＝∠M，即可得到平行．【解答】解：（1）命题一：已知FD⊥AB，若EG⊥AB，EH∥BC，则∠1＝∠2；真命题．命题二：已知FD⊥AB，若EH∥BC，∠1＝∠2，则EG⊥AB；真命题．命题三：已知FD⊥AB，若EG⊥AB，∠1＝∠2，则EH∥BC；真命题．（2）选择命题一．证明：∵FD⊥AB，EG⊥AB，∴∠BDF＝∠BEG＝90°，∴DF∥EG，∴∠GEF＝∠DFE．又∵EH∥BC，∴∠HEF＝∠BFE，∴∠HEF﹣∠GEF＝∠BFE﹣∠DFE，∴∠1＝∠2．选择命题二：延长EG、BC交于点M，∵FD⊥AB，∴∠BDF＝90°，又∵EH∥BC，∴∠2＝∠M，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠M，∴FD∥EM，∴∠MEB＝∠BDF，∴EG⊥AB；选择命题三：延长EG、BC交于点M，∵FD⊥AB，EG⊥AB，∴∠BDF＝∠BEG＝90°，∴DF∥EG，∴∠1＝∠M，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠M，∴EH∥BC．【点评】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义，熟记相关性质是解题的关键．22．（6分）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．（1）若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD；（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC，∠MOD的度数．【分析】（1）根据垂直定义可得，∠AOC+∠1＝90°，结合已知∠1＝∠2可得∠CON＝90°，再根据∠CON与∠NOD互补，即可解答；（2）根据∠AOM＝90°，可得∠AOC＝90°﹣∠1，再根据∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝4∠1，从而求出∠1的度数，即可求出∠AOC和∠MOD的度数．【解答】（1）证明：∵OM⊥AB，∴∠AOM＝90°，∴∠AOC+∠1＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠AOC+∠2＝90°，即∠NOC＝90°，∴∠NOD＝180°﹣∠NOC＝90°．∴∠NOD的度数为90°；∴ON⊥CD（2）解：∵OM⊥AB，∴∠BOM＝90°，∵∠BOC＝4∠1，∴∠BOM+∠1＝4∠1，即90°+∠1＝4∠1，解得∠1＝30°，∴∠AOC的度数为60°，∠MOD的度数为150°．【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．23．（8分）在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的角平分线EG与∠DFE的角平分线FG交于点G．（1）直线EG，FG有何位置关系？直接写出结论 EG⊥FG ．（2）在图1的基础上，分别作∠BEG的角平分线EM与∠DFG的角平分线FM交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．（3）如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的角平分线EP与∠DFO的角平分线FP交于点P，请直接写出∠EOF与∠EPF满足的数量关系 　∠EOF＝2∠EPF ．【分析】（1）由平行线大的性质推出∠BEF+∠EFD＝180°，由角平分线定义得到∠GEF+∠GFE=12（∠BEF+∠EFD）＝90°，由三角形内角和定理求出∠G＝90°，推出EG⊥FG；（2）过M作MN∥AB，得到MN∥CD，由平行线的性质推得到∠EMF＝∠BEM+∠MFD，同理∠EGF＝∠BEG+∠DFG，由角平分线定义得到∠EGF＝2（∠BEM+∠MFD）＝2∠EMF，即可求出∠EMF＝45°；（3）由角平分线定义得到∠BEO+∠DFO＝2（∠BEP+∠DFP），而∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，得到∠EOF＝2∠EPF．【解答】解：（1）如图1，直线EG⊥FG，理由如下：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，∴∠GEF=12∠BEF，∠GFE=12∠EFD，∴∠GEF+∠GFE=12（∠BEF+∠EFD）＝90°，∴∠G＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG，故答案为：EG⊥FG；（2）如图2，过MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠EMN＝∠BEM，∠FMN＝∠MFD，∴∠EMN+∠FMN＝∠BEM+∠MFD，∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD，同理：∠EGF＝∠BEG+∠DFG，∵EM平分∠BEG，FM平分∠DFG，∴∠BEG＝2∠BEM，∠DFG＝2∠DFM，∴∠EGF＝2（∠BEM+∠MFD）＝2∠EMF，由（1）知∠EGF＝90°，∴∠EMF＝45°；（3）∠EOF＝2∠EPF，理由如下：∵EP平分∠BEO，∠FP平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠BEO+∠DFO＝2（∠BEP+∠DFP），由（2）的证明可得：∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∴∠EOF＝2（∠BEP+∠DFP）＝2∠EPF．故答案为：∠EOF＝2∠EPF．【点评】本题考查命题与定理，平行线的性质，关键是灵活应用平行线的性质来解决问题．24．（10分）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：（1）如图2，若AB∥|CD，∠EAB＝75°，∠ECD＝110°，求∠E的度数．（2）已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．①如图3，探究∠BED与∠B，∠D之间的数量关系，请直接写出结果；②如图4，探究∠CDE与∠B，∠BED之间的数量关系，请直接写出结果．【分析】（1）过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，根据平行线的性质可知∠FEA＝105°，∠FEC＝70°，进而可求解；（2）①过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，根据平行线的性质可得∠B+∠FEB＝180°，∠D+∠FED＝180°，进而得到结果；②过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，根据平行线的性质可得∠B＝∠FEB，∠D＝∠FED，进而得到结论．【解答】解：（1）过点E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥CD∥AB，∴∠EAB+∠FEA＝180°，∠ECD+∠FEC＝180°，∵∠EAB＝75°，∠ECD＝110°，∴∠FEA＝180°﹣75°＝105°，∠FEC＝180°﹣110°＝70°，∵∠FEC+∠AEC＝∠FEA，∴∠AEC＝105°﹣70°＝35°；（2）①∠BED＝∠D﹣∠B，过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，∴∠B+∠FEB＝∠D+∠FED＝180°，∵∠FEB＝∠BED+∠FED，∴∠B+∠BED+∠FED＝∠D+∠FED，∴∠BED＝∠D﹣∠B；②∠B＝∠BED+∠CDE，过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，∴∠B＝∠FEB，∠CDE＝∠FED，∴∠B＝∠BED+∠FED，∴∠B＝∠BED+∠CDE．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决此题的关键．25．（12分）综合与实践【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB，CD和一副直角三角尺”开展数学活动．【操作发现】（1）如图1，小明把三角尺60°角的顶点G放在直线CD上，∠F＝90°，若∠1＝2∠2，则∠1＝　80　 °．（2）如图2，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在直线AB，CD上，请用等式表示∠AEF与∠FGC之间满足的数量关系　∠AEF+∠FGC＝90°　 ．（不用证明）【综合应用】（3）在图2的基础上，小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PFQ＝60°，如图3，FM平分∠EFP交直线AB于点M，FN平分∠QFG交直线CD于点N．将含60°角的三角尺绕着点F转动，且使FG始终在∠PFQ的内部，请问∠AMF+∠CNF的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，说明理由．【学以致用】（4）已知：直线AB∥CD，三角板EFH中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．三角板EFH如图4位置放置，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若PQ∥FH，且∠EFT＝∠ETF．探究∠Q与∠HFT之间的数量关系并说明理由．【分析】（1）利用平行线的性质和已知角度关系求解；（2）通过平行线的性质和直角三角形的性质找出角度关系；（3）借助角平分线的定义和前面得出的角度关系来判断∠AMF+∠CNF的值是否变化；（4）通过设未知数，利用平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理探究∠Q与∠HFT之间的数量关系．【解答】解：（1）∵AB//CD，∴∠2＝∠EGD（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝2∠2，∵∠1＝2∠EGD，∵∠FGE＝60°，∴∠1+∠EGD＝180°﹣60°＝120°，∴2∠EGD+∠EGD＝120°，即∠EGD＝40°，∴∠1＝2∠EGD＝80°，故答案为：80；（2）如图，∵AB//CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵在Rt△EFG中，∠FEG+∠FGE＝90°（直角三角形两锐角互余），∴∠AEF+∠FGC＝180°﹣90°＝90°；故答案为：∠AEF+∠FGC＝90°；（3）不变，∠AMF+∠CNF＝75°，理由如下：如图3，，∵FN、FM分别平分∠QFG、∠EFP，∴∠QFG＝2∠3＝2∠4，∠EFP＝2∠1＝2∠2，设∠3＝∠4＝α，∵∠QFP＝60°，∴∠PFN＝60°﹣α，∠PFG＝60°﹣2α，∵∠EFG＝90°，∴∠EFP＝2∠1＝∠EFG﹣∠PFG＝90°﹣（60°﹣2α）＝30°+2α，∴∠1＝∠2＝15°+α，∴∠MFN＝∠PFN+∠2＝（60°﹣α）+（15°+α）＝75°，由②方法可得∠AMF+∠FNC＝∠MFN＝75°，即∠AMF+∠CNF＝75°；（4）设∠AFE＝x，则∠BFH＝90°﹣x，∠EFB＝180°﹣x．∵PQ//FH，∴∠QPE＝∠H，∵∠H＝60°，∴∠QPE＝60°，∵AB//CD，∴∠AFE+∠CEF＝180°，∴∠CEF＝180°﹣x，∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH＝180°﹣x+30°＝210°﹣x，∵EQ平分∠CEH，∴∠QEH=12∠CEH＝105°−12x，∵∠Q+∠QEH+∠QPE＝180°，∴15°+12x+105°−12x+∠QPE＝180°，∴∠Q＝15°+12x，∴∠Q﹣∠HFT＝15°．【点评】本题主要涉及平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练运用上述知识点求解．题号123456答案BDCBDD